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1、第 七 章,参 数 估 计,了一个正态总体下样本均值与样本方差的分布定理.,前面我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出,进行统计推断的一般步骤为:,总体,样本,统计量,作出推断,统计推断的 基本问题,参数估计问题,假设检验问题,参数的点估计,参数的区间估计,参数假设检验,非参数假设检验,参数估计问题是利用从总体抽样得到的样本信息来估计总体的某些参数.,如:,估计产品的废品率;,估计湖中鱼的数量;,估计降雨量等等.,在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.,参数估计问题的一般提法:,设总体的分布函数为,其中,是未知
2、参数,(,可以是向量).现从该总体,抽样，得样本(X1,X2,Xn),根据该样本,作出估计.,对参数,比如:我们要估计某班男生的平均身高.,假定身高服从正态分布,现从该总体选取容量为 5 的样本，我们的,设这5个样本值是:,估计,1.65, 1.67, 1.68, 1.78, 1.69;,任务是要根据选出的5个样本对总体均值,作估计.,为1.68，,这是点估计.,估计,在区间 1.62, 1.80 内，,这是区间估计.,参数估计分点估计与区间估计,设总体 X 的分布中含未知参数,1 参数的点估计,( X1 , X2 , , Xn ),是一样本,要构造一个统计量,作为,的估计,( 叫做 的点估计
3、量);,对应样本值( x1 , x2 , , xn ),可作为,的估计值，,构造点估计的常用方法,矩估计法 (moment method of estimation),极大似然估计法 (method of maximum likelihood),基本思想：用样本矩估计总体矩 .,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的估计方法.,一、 矩估计法,理论依据：大数定律.,矩估计法:,用样本矩,作为总体矩,的估计, 去求出未知参数的估计量的方法.,由矩估计法求得的估计量叫矩估计量, 相应的估计值叫 矩估计值.,的矩估计量可记作,解:,解得,总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:,解:,解得,总体矩
4、用相应的样本矩代替, 得 a 与 b 的矩估计量:,解:,解得,总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:,基本思想：概率最大的事件最可能发生 .,由德国数学家高斯,它是在总体类型已知的条件下使用的一种参数估计方法，,二、极大似然估计法,例如:,某位同学与一位猎人一起外出打猎 .,一只野兔从前方窜过. 只听一声枪响，野兔应声倒下 .,是谁打中的呢？,你很自然地想到: 只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般 大于这位同学命中的概率. 估计这一枪应该是猎人射中的 .,1821年,提出.,解:,X 的概率密度,似然函数,两边取对数得,续解:,分别对,求导并令其为 0 得,求估计量的方法很多, 用不同的方
5、法求出的估计量可能 不一样. 我们希望用较好的估计量去估计未知参数. 因此 有必要讨论如何评价一个估计量的好坏.,3 估计量的评选标准,常用的几个评价标准：,无偏性,有效性,一致性,估计量是随机变量，其取值随样本值的不同而不同. 我 们希望估计量的取值集中在未知参数真值附近, 即它的期望 值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 .,同样是无偏估计量, 有的取值较集中, 有的取值较分散. 自然是: 取值越集中的越好. 这就导致有效性这个标准 .,估计量与样本容量有关, 我们希望估计量的取值随样本 容量的增大稳定在未知参数真值. 这就导致一致性这个标准.,无偏性:,若 ,则称,有效性:,且 ,若 及 都是 的无偏估计,则称,较 有效.,一致性:,若对,有,则称,设总体 X 的均值为,因,方差为,( X1, X2, , Xn ) 是,它的一个样本,为样本均值,为样本方差,表明:,样本均值,是总体均值,的无偏估计.,样本方差,是总体方差,的无偏估计.,注:,不是 的无偏估计,它们也是 相合估计,解:,X1 , X2 , X3 独立与 X 同分布, 故,同理得,所以 d1 , d2 都是,的无偏估计.,续解:,同理得,所以 d1 比 d2 有效, d1 更好.,
