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1、,概率论与数理统计总复习1讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,1. 学会使用简单事件表示复杂事件,第一章,例如：设A，B，C 为三个事件，用它们表示下列事件： （1） A，B，C 中至少有一个发生； AB C （2） A，B，C 同时发生； ABC （3） A不发生；,2. 常用公式,P( )= P(A-B)=P(A)P(AB),（4）加法公式,若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B)；,若 P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A) ；,（5）乘法公式,（6）条件概率 设A、B是两个事件。 若P(B)0，则,若P(A)0，则,（7）独立性,相互独立,或,解：,解：,例
2、3： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。,故, P(AB) = P(A)P(B).,解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13,这说明事件A, B独立。,问事件A, B是否独立？,P(AB) = 2/52 = 1/26。,P(B) = 26/52 = 1/2，,例4: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人分别编号为1, 2, 3，,故，所求为 P(A1A2A3)。,记 Ai = 第i个人破译出密码 ， i=1, 2, 3。,已知 P(A1)=1/5,
3、 P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且,P(A1A2A3),A1，A2，A3相互独立，,例5：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。,解：设 A=射击时中靶，B1=枪校准过, B2=枪未校准， 则 B1,B2 是一个划分，得,例6：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。
4、求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的概率各为多少?,解：设 A=螺钉是次品,B1=螺钉由I号机器生产, B2=螺钉由II号机器生产,B3=螺钉由III号机器生产。,则,则 B1,B2,B3是一个划分，得,P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。,解：记A=将信息X传送出去， B=接收到信息X。则,例7： 将两信息分别编码为X和Y后传送出去，接收站接收时， X被误收作Y的概率为0.02，而Y被误收作X的概率为0.01。信息X与信息Y传送的频率程度之比为2：1。若接收站收到的信息是X
5、,问原发信息也X是的概率是多少？,并且,由贝叶斯公式有,第二章,1. 常见概率分布,(1)（01）分布（两点分布）,记成 Xb(1, p)。,即随机变量X具有概率分布,P(X=1 ) = p , P(X=0) = 1-p .,E(X)= p , D(X) = p(1-p) .,(2)二项分布, 记成 X b(n, p)。,即随机变量X具有概率分布,E(X)= np , D(X) = np(1-p) .,即随机变量X具有概率分布,(4) 均匀分布，记作： X U（a, b）,即随机变量X具有概率密度函数,即随机变量X具有概率密度函数,(5) 指数分布，记成 X E()。,即随机变量X具有概率密度
6、函数,(7) 标准正态分布，记为X N(0, 1),即随机变量X具有概率密度函数,或随机变量X具有分布函数,定义1: 设 X是一个随机变量，称函数 F (x) = PXx, - x 0 时,例5：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；,则 Y=X2 的概率密度为：,若X U（1, 4）,即,例6：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,解：在区间 (0, 1) 上，函数 ln x 0,于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单
7、调下降， 有反函数,由前述定理，得,注意取 绝对值,已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y 服从参数为1/2的指数分布。,1. 二维离散型随机向量的联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合分布律为pij， i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,第三章,概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数, 简称概率密度。.,2. 二维连续型随机向量,则
8、X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合概率分布为,3 二维离散型随机向量的边缘分布,4 连续型随机向量的边缘概率密度,若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,5 随机变量的独立性,设 X, Y是两个随机变量, 对任意的 x, y, 若,则称 X与Y 相互独立。用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是,若 (X,Y) 是连续型随机向量 ，上述独立性定义等价于：对任意 x, y R, 有,分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。,几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。,若 (X,Y)是离散
9、型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj), 有,成立，则称 X与Y 相互独立。,例1：设(X, Y)的概率密度为,求 (1). c的值; (2). 边缘密度。,= 5c/24=1,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意积分限,注意取值范围,注意积分限,注意取值范围,即,解:,对一切 x, yR , 均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).,故，X与Y相互独立。,例2： 设(X,Y) 的概率密度为,问(1)P(0X1, 0Y1), (2)X与Y是否独立？,(2),解：,由于存在面积不为零的区域 D，使得,故，X与Y不相互独立 。,例3：若(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立？,
