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1、,概率论与数理统计总复习1讲,主讲教师:杨勇,佛山科学技术学院数学系,1. 学会使用简单事件表示复杂事件,第一章,例如:设A,B,C 为三个事件,用它们表示下列事件: (1) A,B,C 中至少有一个发生; AB C (2) A,B,C 同时发生; ABC (3) A不发生;,2. 常用公式,P( )= P(A-B)=P(A)P(AB),(4)加法公式,若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B);,若 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) ;,(5)乘法公式,(6)条件概率 设A、B是两个事件。 若P(B)0,则,若P(A)0,则,(7)独立性,相互独立,或,解:,解:,例
2、3: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。,故, P(AB) = P(A)P(B).,解:由于 P(A) = 4/52 = 1/13,这说明事件A, B独立。,问事件A, B是否独立?,P(AB) = 2/52 = 1/26。,P(B) = 26/52 = 1/2,,例4: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少?,解:将三人分别编号为1, 2, 3,,故,所求为 P(A1A2A3)。,记 Ai = 第i个人破译出密码 , i=1, 2, 3。,已知 P(A1)=1/5,
3、 P(A2)=1/3, P(A3)=1/4,且,P(A1A2A3),A1,A2,A3相互独立,,例5:8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时,中靶概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。 求:所用的枪是校准过的概率。,解:设 A=射击时中靶,B1=枪校准过, B2=枪未校准, 则 B1,B2 是一个划分,得,例6:一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。
4、求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的概率各为多少?,解:设 A=螺钉是次品,B1=螺钉由I号机器生产, B2=螺钉由II号机器生产,B3=螺钉由III号机器生产。,则,则 B1,B2,B3是一个划分,得,P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。,解:记A=将信息X传送出去, B=接收到信息X。则,例7: 将两信息分别编码为X和Y后传送出去,接收站接收时, X被误收作Y的概率为0.02,而Y被误收作X的概率为0.01。信息X与信息Y传送的频率程度之比为2:1。若接收站收到的信息是X
5、,问原发信息也X是的概率是多少?,并且,由贝叶斯公式有,第二章,1. 常见概率分布,(1)(01)分布(两点分布),记成 Xb(1, p)。,即随机变量X具有概率分布,P(X=1 ) = p , P(X=0) = 1-p .,E(X)= p , D(X) = p(1-p) .,(2)二项分布, 记成 X b(n, p)。,即随机变量X具有概率分布,E(X)= np , D(X) = np(1-p) .,即随机变量X具有概率分布,(4) 均匀分布,记作: X U(a, b),即随机变量X具有概率密度函数,即随机变量X具有概率密度函数,(5) 指数分布,记成 X E()。,即随机变量X具有概率密度
6、函数,(7) 标准正态分布,记为X N(0, 1),即随机变量X具有概率密度函数,或随机变量X具有分布函数,定义1: 设 X是一个随机变量,称函数 F (x) = PXx, - x 0 时,例5:设 X 具有概率密度fX(x),求Y=X2的密度。,解:设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0,故当 y0时,FY(y)=0;,则 Y=X2 的概率密度为:,若X U(1, 4),即,例6:设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布,求 Y=-2ln X 的概率密度。,解:在区间 (0, 1) 上,函数 ln x 0,于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单
7、调下降, 有反函数,由前述定理,得,注意取 绝对值,已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布,,代入 的表达式中,得,即Y 服从参数为1/2的指数分布。,1. 二维离散型随机向量的联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合分布律为pij, i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,第三章,概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y),如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数, 简称概率密度。.,2. 二维连续型随机向量,则
8、X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X, Y ) 是二维离散型随机向量,联合概率分布为,3 二维离散型随机向量的边缘分布,4 连续型随机向量的边缘概率密度,若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y),则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,5 随机变量的独立性,设 X, Y是两个随机变量, 对任意的 x, y, 若,则称 X与Y 相互独立。用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是,若 (X,Y) 是连续型随机向量 ,上述独立性定义等价于:对任意 x, y R, 有,分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 。,几乎总成立, 则称X与Y相互独立 。,若 (X,Y)是离散
9、型随机变量,则上述独立性定义等价于:对(X,Y) 所有可能取值 (xi , yj), 有,成立,则称 X与Y 相互独立。,例1:设(X, Y)的概率密度为,求 (1). c的值; (2). 边缘密度。,= 5c/24=1,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意积分限,注意取值范围,注意积分限,注意取值范围,即,解:,对一切 x, yR , 均有 f (x, y)=f X(x) f Y(y).,故,X与Y相互独立。,例2: 设(X,Y) 的概率密度为,问(1)P(0X1, 0Y1), (2)X与Y是否独立?,(2),解:,由于存在面积不为零的区域 D,使得,故,X与Y不相互独立 。,例3:若(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立?,