《高中数学课件 1.2.3 简易逻辑(三)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学课件 1.2.3 简易逻辑(三)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3 简易逻辑(三),一、命题的有关概念,1.命题,可以判断真假的语句.,“非 p”形式的复合命题与 p 的真假相反;,2.逻辑联结词,“或”、“且”、“非”.,3.简单命题,不含逻辑联结词的命题.,4.复合命题,含有逻辑联结词的命题.,5.复合命题真值表,“p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假时为假, 其它情形为真;,“p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真, 其它情形为假.,二、命题的四种形式,逆否命题: 若q, 则p.,原命题: 若 p, 则 q;,逆命题: 若 q, 则 p;,否命题: 若p, 则q;,注: 互为逆否命题的两个命题同真假.,三、反证法,1
2、.一般步骤,反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;,归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;,结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.,2.命题特点,结论本身以否定形式出现;,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;,结论的反面比原结论更具体或更易于证明.,3.特殊结论的反设,4.引出矛盾的形式,由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立;,由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立;,由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题;,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.,四、充要条件,1.
3、充分与必要条件,若 pq, 且 qp, 则 p 是 q 的充要条件.,2.与四种命题的关系:,如果 p 是 q 的充分条件, 则原命题“若 p 则 q”以及逆否命题“若 q 则 p”都是真命题.,如果 p 是 q 的必要条件, 则逆命题“若 q 则 p”以及否命题“若 p 则 q”为真命题.,如果 p 是 q 的充要条件, 则四种命题均为真命题.,3.集合观点,设 P=x | p(x)成立, Q=x | q(x)成立,若 PQ 且 QP, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.,若 P Q, 则 p 是 q 的充分但不必要条件;,若 Q P, 则 p 是 q 的必要但不充分条件;,若 P=Q
4、, 则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件);,典型例题,例1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件:,(1) p: x5, q: x5;,(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切;,(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体;,(5) p: ABC中, acosB=bcosA, q: ABC为等腰三角形.,解: (1)设 P=x | x5, Q=x | x5,p 是 q 的充分但不必要条件.,P Q,p 是 q 的既不充分也不必要条件.,解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切,p 是 q 的必要但不充分条
5、件.,解: 正四棱柱是特殊的长方体,p 是 q 的充分但不必要条件.,正四棱柱 长方体.,解: acosB=bcosA,2RsinAcosB=2RcosAsinB.,A=B .,sin(A-B)=0.,pq.,p 是 q 的充分但不必要条件.,(4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体.,(5) p: ABC中, acosB=bcosA, q: ABC为等腰三角形.,P 形成的集合看作 P,显然 Q P.,(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切.,例2 已知 f(x)=ax2+bx+c(a, b, cR), 求证: 关于 x 的方程 f
6、(x)=0 恰有两不相等的实数解的充要条件是: 存在 x0R, 使 af(x0)b2-4(-a2x02-abx0),证: 充分性: 若存在 x0R, 使af(x0)0,即 a2x02+abx0+ac0,=(2ax0+b)20.,关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解.,必要性: 若关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解,(否则, 方程 f(x)=0 不会恰有两个不相等的实数解, 矛盾).,故由 , 可知关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解的充要条件是: 存在 x0R, 使 af(x0)0.,设为 x1, x2, 且 x1x2,则 a0,f(x)=a(
7、x-x1)(x-x2).,则 x1x0x2,af(x0)=a2(x0-x1)(x0-x2),0,这说明存在 x0R, 使af(x0)0.,在此前提下考虑至少有一个非负根的反面即两个负根的充要条件是:,例3 已知集合 M=(x, y) | y2=2x, N=(x, y) | (x-a)2+y2=9, 求证: MN 的充要条件是 -3a5.,即关于 x 的方程 x2 +2(1-a)x+a2-9=0 至少有一个非负根.,证: 由已知MN 的充要条件是 方程组,由 0 得 a5.,解得 a-3.,从而使MN 的充要条件是 -3a5.,例4 求证：关于x 的方程x2+2ax+b=0 有实数根, 且两根均
8、小于 2的充分但不必要条件是a2且|b|4.,方程有实数根x1 和 x2 .,证明: 由a2且|b|4得: a24b., =4(a2 -b)0.,又由a2得: -2a-4. 而b-4,(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4= -2a-4-4-4= -80,即 (x1-2)+(x2-2)0.,(x1-2)0 且 (x2-2)0.,x12 且 x22 .,由a2且|b|4可推得关于x 的方程x2+2ax+b=0 有实数根, 且两根均小于 2.,另一方面, 对于方程x2 -x=0, 其两根为0, 1, 均小于2,但 a= - ,由关于x 的方程x2+2ax+b=0有实数根, 且两根均小于 2不一定推得a2且|b|4.,故关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根, 且两根均小于 2 的充分但不必要条件是a2且|b|4.,
