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1、相似三角形相似三角形动态动态培优题培优题 1、如图,在 RtABC 中,C=90,AC=4cm,BC=3cm动点 M,N 从点 C 同时出发,均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度 沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位: 秒,0t2.5) (1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与ABC 相似? (2)是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值? 若存在,求 S 的最小值;若不存在,请说明理由 2、如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,
2、且与 C、D 不重 合,过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点 (1)求证:ADPABQ; (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM2=y,求 y 与 x 的函数关系式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的 位置也在变化当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范 围 3、如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的点, BE=1,AEP=90,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交 边 CD
3、 于点 F, (1)的值为 ; (2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边 形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由 4、如图,四边形 ABCD 中,AC 平分DAB,ADC=ACB=90, E 为 AB 的中点, (1)求证:AC2=ABAD; (2)求证:CEAD; (3)若 AD=4,AB=6,求的值 5、如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心, AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出 发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,
4、点 G 的运动速度为 1.5cm/s, 当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时,三个点随之停止运 动在运动过程中,EBF 关于直线 EF 的对称图形是EBF设 点 E、F、G 运动的时间为 t(单位:s) (1)当 t= 2.5 s 时,四边形 EBFB为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的 三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B与点 O 重合?若存在,求出 t 的 值;若不存在,请说明理由 6、如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 点 E 是 BC 上的一个动点,连接 DE,交 AC
5、 于点 F (1)如图,当时,求的值; (2)如图当 DE 平分CDB 时,求证:AF=OA; (3)如图,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FGBC 于点 G,求证:CG= BG 7、如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为 (3,0),以 0A 为边作等边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动, 动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时出发,速度均 为 1 个单位秒。设运动时间为 t 秒 (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB
6、 于点 E,过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并 直接写出自变量 t 的取值范围: (3)在(2)的条件下,将BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE1F1,使 点 E 的对应点 E1落在线段 AB 上,点 F 的对应点是 F1,E1F1交 x 轴于点 G,连接 PF、QG,当 t 为何值时,2BQ-PF= QG? 3 3 8、在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0) ,点 B(0,4) ,点 E 在 OB 上,且OAE=0BA ()如图,求点 E 的坐标; ()如图,将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO,连接 AB、
7、BE 设 AA=m,其中 0m2,试用含 m 的式子表示 AB2+BE2,并求出使 AB2+BE2取得最小值时点 E的坐标; 当 AB+BE取得最小值时,求点 E的坐标(直接写出结果即可) 9、如图,P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点, AEBP,CFBP,垂足分别为点 E、F,已知 AD=4 (1)试说明 AE2+CF2的值是一个常数; (2)过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M,点 P 在何位置时线段 DM 最长,并求出此时 DM 的值 10、如图,在ABC 中,C=90,BC=3,AB=5点 P 从点 B 出 发,以每秒 1 个单位长度沿 BCAB 的方向运动;点 Q
8、 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 CAB 方向的运动,到达点 B 后 立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运 动时间为 秒 (1)当 = 7 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 为何值时,PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设PCQ 的面积为 s 平方单位 求 s 与 之间的函数关系式; 当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折叠后的APD 与PCQ 重 叠部分的面积 11、如图,在ABC 中,B=45
9、,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上,E、F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于 点 H (1)求证:; (2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出 最大面积; (3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位 的速度沿射线 DA 匀速向上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点时停 止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与ABC 重叠部分的面 积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围 12、如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交 于点 A(6,0) ,B(0.8) ,点 C 的坐标为(0,m) ,过点 C 作 CEAB 于点 E,点 D 为 x 轴上的一动点,连接 CD,DE,以 CD,DE 为边作CDEF (1)当 0m8 时,求 CE 的长(用含 m 的代数式表示) ; (2)当 m=3 时,是否存在点 D,使CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF 为矩形,请求出所有满足条件的 m 的值