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1、机械工程控制基础,主讲教师：叶春生, Tel:027-87558370,华中科技大学材料学院,机械工程控制基础,第一章 自动控制的一般概念 第二章 控制系统的数学模型 第三章 控制系统的时域分析法 第四章 频域分析法 第五章 控制系统的稳定性 第六章 控制系统的校正,第三章 控制系统的时域分析法,3.1 时间响应及其组成3.2 典型输入信号3.3 一阶系统3.4 二阶系统3.5 高阶系统的响应分析3.6 系统的误差分析与计算,3.0 引言,连续系统的数学模型,数学模型的两大主要分析方法：时域分析和变换域分析（通常指频域）。, 时域分析：不对系统微分方程进行变换，直接在 t 域分析。, 变换域分
2、析：将系统数学模型变换为新变量的代数方程, 并首先在变换域分析系统，然后视需要再返回时域。例如，如电路正弦稳态的相量分析、 连续系统的傅里叶分析和拉普拉斯变换分析，等。,两大主要分析方法的对比,时域分析：注重系统加工改造信号的 t 域数学描述。例如，将响应分为自由与强迫、暂态与稳态、零输入与零状态，解释动态电路的能量转移过程，等等。但是，数学描述略显复杂。,变换域分析：注重系统加工改造信号的变换域数学描述，便于深入揭示系统加工改造信号的物理本质。例如，系统的傅里叶分析揭示了系统对激励信号的频谱加工。同时，拓宽了系统分析思路，余略。,本章，先讨论微分方程的 t 域经典解法，接着研究系统初始条件的
3、确定，最后介绍零状态响应的特殊解法 卷积积分。整个过程的着眼点在于从 t 域描述系统加工改造信号的的本质。,3.1 时间响应及其组成,时间响应,时间响应是指在时间域内系统在一定输入信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。,微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解和特解组成,齐次解 的形式由齐次方程的特征根确定,特解 的形式由方程右边激励信号(或输入）的形式确定,连续系统的特征根,特征根的两种情况：,1) 单根,2) 重根,令 p1 为 k 重根，则齐次解中对应的 k 项为,齐次解中其余( nk )项，同单根情况一样。,方程解的一般形式,特征根的两种情况：,1) 单根,自由响应,强迫响应,自
4、由响应与强迫响应 暂态响应与稳态响应,（齐次解）,（特解）,（自由响应）,（强迫响应）,（暂态响应）,（稳态响应）,数学上：,工程上：,自由的含义：数学上，函数模式自由于激励，即函数模式不受激励约束；自由响应等于齐次解。,强迫的含义：数学上，函数模式受迫于激励，即函数模式受激励约束；强迫响应等于特解。,暂态的含义：数学上，函数值在t时趋于零；工程上，是一个暂态过程。有的系统可以没有暂态而直接进入稳态响应。,稳态的含义：数学上，函数模式稳定不变；工程上，亦然。有的系统可以没有稳态而只有暂态响应，例如本例的电感电压即是。,零输入响应与零状态响应,【实例】图示电路，t 0 时的回路电流i (t )
5、。,t 0激励,t 0不是激励,列电路方程,完全解,讨论,1)式(*)表明，对于激励来说，完全解 i(t) 不满足齐次性和叠加性（即，线性）。可图示电路确实是线性电路,2)原因在于：定义线性系统时，前提是系统无初始储能,3)解决方法，先分析使系统在 t 0 有输出的原因： t 0的外加激励； t =0初始储能在t 0的释放，可等效为 t 0的激励。,零输入响应与零状态响应定义, 零输入响应 ( yzi )：系统外加激励 x(t)=0（称系统处于零输入），仅由系统 t =0时的初始储能在 t 0释放引起的响应。, 零状态响应 ( yzs )：系统 t =0时的初始储能为零（称系统处于零状态），仅
6、由系统 t 0的外加激励 x(t) 引起的响应。,为方便，将激励接入系统的时刻记作 t =0 。,零输入响应与零状态响应定义,由于激励接入系统的时刻记作 t =0 ，故零状态是指：,系统的完全响应又可分为 y(t)=yzi(t)+yzs(t),于是, 可将线性系统的线性含义重新解释为：若系统分别满足零输入线性和零状态线性, 则称为线性系统。前例即是, 分析如下。,1阶跃函数,其表达式为,当a=1时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有,单位阶跃函数的拉氏变换为,3.2 典型输入信号,2速度函数（斜坡函数）,其表达式为,当a=1时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换为,3加速度函数（抛物
7、线函数）,其表达式为,当a=1/2时，称为单位加速度函数，其拉氏变换为,4脉冲函数,其表达式为,单位脉冲函数(t)，其数学描述为,单位脉冲函数的拉氏变换为,5正弦函数,其表达式为,其拉氏变换为,3.3 一阶系统的时域分析,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。,1) 单位阶跃响应,标准形式传递函数,2)单位脉冲响应,3)单位斜坡响应,4) 单位抛物线响应,5) 结果分析,输入信号的关系为：,而时间响应间的关系为：,等效的开环传函及方框图,3.4 二阶系统的时域分析,二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统,微分方程的标准形式：,传递函数及方框图,闭环极点的分布,二阶系统的特征方程为,
8、的取值不同,特征根不同。,（1） （欠阻尼）有一对共轭复根,两根为,（3） （过阻尼）， ，两不等实根,（2） （临界阻尼）， ，两相等实根,（4） （无阻尼）， ，一对纯虚根,（5） ， 位于右半平面,二阶系统的单位阶跃响应,一般 在0.40.8间响应曲线较好,二阶系统的性能指标定义,超调量,调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。,峰值时间 ：单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。,振荡次数 N： 在调整时间内响应过程穿越其稳态值 次数的一半定义为振荡次数。,，一般取,，一般取,1)上升时间,性能指标的计算,2)峰值时间,2)峰值时间,3)超调量,4)调整时间,5)振荡次数N,计算举
9、例(1),计算举例(2),二阶系统的脉冲响应,（1）无阻尼 脉冲响应,（2）欠阻尼 脉冲响应,（3）临界阻尼 脉冲响应,（4）过阻尼 脉冲响应,脉冲响应与阶跃响应的关系,具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的闭环传函具有如下标准形式,当 时，对欠阻尼情况,对应的性能指标,说明,闭 环 负 实 零 点 的 主 要 作 用 在 于 加 速 二 阶 系 统 的 响 应 过程 ( 起 始 段)； 2. 削 弱 系 统 阻 尼，超 调 量 大；,初始条件不为零的二阶系统的响应过程,零状态响应,初始条件不为零的二阶系统的响应过程,可见， 具有相同的衰减振荡特性,例 设位置随动系统的开环传递函数
10、当给定位置为单位阶跃时，试计算放大器增益KA=200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量 。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？,解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数,将KA=200代入上式,对照标准形式,得到,故峰值时间,调节时间,超调量,如果KA增大到KA=1500，同样可计算出,则,当KA减小到13.5时，可以算出,系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为,不同KA时的阶跃响应曲线,3.5 高阶系统的响应分析,闭环主导极点的概念,在
11、高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。,高阶系统单位阶跃响应的近似分析,（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决定。系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。,（2）系数 和 不仅与S平面中的极点位置有关，并且与零点有关。a.零极点相互靠近，且离虚轴较远， 越小，对 影响越小；b.零极点很靠近，对 几乎没影响；c.零极点重合（偶极子）， 对 无任何影响；d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影响大。,（3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。,（3）若 时，则高阶系统近似成二阶
12、系统分析。,由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。 暂态响应分量的合成则有如下结论：,控制系统的性能,动态性能,稳态性能,稳态误差,本节主要讨论,原理性稳态误差的计算方法,系统结构-系统类型,输入作用方式,3.6 系统的误差分析与计算,误差和稳态误差控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评
13、价的。,1 稳态误差的定义,控制系统框图,在实际系统中是可以量测的,误差传递函数,二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线,二阶系统的标准形式,二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线,公式条件：,的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）,输入形式,结构形式,开环传递函数,给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构以及输入信号形式。,因此按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。,终值定理，求稳态误差。,2 系统类型,令系统开环传递函数为,系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别,系统稳态误差计算通式则可表示为,分
14、别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况,阶跃信号输入,令,Static position error constant,令,:静态位置误差系数,则：,要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,斜坡信号输入,令,静态速度误差系数,Static velocity error constant,令,要求对于斜坡作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,加速度信号输入,要求对于加速度作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,令,令,静态加速度误差系数,Static acceleration error constant,要求对于加速度作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,静态位置误差系数,静态加速度误差系数,静态速度误差系数,在参考输入作用下的稳态误差:,某单位反馈控制系统开环传函为：试确定使系统在单位斜坡信号输入时稳态误差小于0.1的K的范围。,3 扰动作用下的稳态误差,负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。,扰动不可避免,它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。,扰动稳态误差,控制对象,控制器,输出对扰动的传递函数,终值定理:,若扰动为单位阶跃信号：,则：,结论,总的误差=X(S) 引起的误差+D(S)引起的误差,减小或消除稳态误差的措施,
