《第1讲 数学建模简介》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1讲 数学建模简介（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学建模与数学实验,山东工商学院数学学院,数学建模简介,数学建模简介,1. 关于数学建模,3. 数学建模实例,2. 数学建模论文的撰写方法,C.人口预报问题,A. 椅子能在不平的地面上放稳吗？,B.商人安全过河问题,1、什么是数学模型？,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。,1.1 名词解释,简单地说：数学模型就是系统的某种特征(或本质)的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在
2、某一方面的存在规律。,2、什么是数学建模?,数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。, 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学就需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。,
3、数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,1.2 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成
4、,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世
5、界,模型,1.3 数学模型及其分类, 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。,数学模型的分类：, 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模 型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。,全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。本竞赛每年9月第三个星期五至下一周星期一（共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分甲、乙两组，甲组竞赛任何学生均可参加，乙组竞赛只有大专生（包括高职、高专生）或本科非理工科学生可以参
6、加）。目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2010 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡和澳大利亚的1197所院校、17317个队（其中本科组14108队、专科组3209队）、5万多名大学生参加了本项竞赛。,1.4 全国大学生数学建模竞赛,竞赛宗旨:,竞赛相关网站：,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争, （中国数模网） （数学中国） （Matlab技术论坛） （中国建模人）,竞赛相关软件包：,Matlab Mathematic Maple Lingo Lindo Sas Spss,1.5 近几年全国大学生数学建模竞赛题,
7、2.怎样撰写数学建模的论文？,1、摘要:问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,8、参考文献,9、附录,实例,3、模型假设,3. 数学建模示例,3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍转动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？,3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
8、,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
9、,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力
10、游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3;k=1,2, ,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,v
11、k第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2;k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x , y) x=0, y=0
12、,1,2,3;x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,3.3 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据
13、,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),复杂的人口模型,可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。,考虑人口年龄分布的偏微分方程模型。,考虑女性人口比例和人口迁移等因素 有宋健-于景元人口模型。,谢 谢！,
