声与振动基础课件

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1、第一章 机械振动系统的振动,声 与 振 动 基 础,主要内容,1.1 单自由度机械振动系统的自由振动 1.2 单自由度机械振动系统的强迫振动 1.3 任意时间函数的力对机械振动系统的作用 1.4 机电类比 1.5 两个自由度耦合系统的自由振动,概论,1、绝大部分声音来自结构振动,概论,2. 振动与声波（sound waves）声波是传声介质质点运动状态的传递。,机械振动：质点围绕其平衡位置进行的往返运动。,概论,机械振动系统，至少应有下面两个要素,（1）惯性（质量）； （2）质量受到恢复力作用。(恢复力，总是指向平衡位置的力),概论,机械振动系统分类,集中参数系统,分布参数系统,集中参数系统:

2、把机械振动系统中的物体视为只有质量或只有弹性的元件。,分布参数系统:振动系统中的每一部分都有质量、弹性、消耗能量的性质。,弹簧振子,振动着的鼓膜,概论,概论,单自由度系统 两自由度系统 多自由度系统,自由度:描述集中参数系统振动过程所用的独立变量。,1.1、单自由度机械系统的 自由振动,一、无阻尼自由振动 二、阻尼自由振动,一、无阻尼自由振动,1、振动方程 2、振动的一般规律 3、振动的速度和加速度 4、振动的能量,振动系统元件： 钢球：质量元件，质量 m 弹簧：弹性元件，弹性系数 D,1、振动方程,无阻尼自由振动,虎克定律：弹性力与弹簧两端的相对位移大小成正比，而力的方向和位移的方向相反。（

3、弹簧在弹性限度内）,1、振动方程,无阻尼自由振动,弹性系数 ：在数值上等于弹簧产生单位长度变化所需作用力的大小,柔顺系数 ：表示弹簧在单位力作用下能产生的位移的大小,1、振动方程,无阻尼自由振动,牛顿第二定律：,1、振动方程,无阻尼自由振动,1、振动方程,根据弹力与牛顿力平衡原理， 得出m运动的微分方程,令, 振动圆频率（角频率）,无阻尼自由振动,运动方程写为,求解这个齐次二阶常微分方程可以得到自由振动的一般解。,1、振动方程,无阻尼自由振动,特征方程： 得到所以，方程的解为：,其中， ， 为复常数，决定于初始条件； 而， 由系统参数（m，D）决定，与初始条件无关。,2、振动的一般规律,无阻尼

4、自由振动,式中， 为两个待定常数，由运动的初始条件来确定。,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,如果，关于 的初始条件为实数，则 的另一种表示：,数学基础,无阻尼自由振动,2、振动的一般规律,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,令,表示为：,其中，C1，C2；或A，由初条件确定,无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。所谓简谐振动（谐合振动）是指正弦或余弦振动。,结论：,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,此振动的周期为： ；单位sec 此振动的频率为： ；单位1/s，称作赫兹,记 Hz称作角频率，单位为：弧度/秒,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,为系统

5、的固有角频率。 系统的固有频率仅由系统参数决定，与初始条件无关。,定义：固有频率(natural frequency )，振动系统自由振动时的频率为该系统的固有频率，记：,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,初始条件 解得,由初始条件决定,2、振动的一般规律,无阻尼自由振动,2、振动的一般规律,得到特解,无阻尼自由振动,第一项表示由初始位移引起的振动位移； 第二项表示由初始振速引起的振动位移。二者振动相位差为,2、振动的一般规律,令,无阻尼自由振动,无阻尼振动系统的自由振动是一个简谐振动。 无论怎样的初始激发条件，系统的振动频率始终等于固有频率（小振幅振动）。固有频率决定于系统的参数。 由初始

6、位移引起的振动位移和由初始振速引起的振动位移的相位相差,2、振动的一般规律,总结：,无阻尼自由振动,3、振动速度、加速度,无阻尼自由振动,已知位移（ ）,3、振动速度、加速度,质点m作自由振动时，位移为瞬时速度瞬时加速度,无阻尼自由振动,位移、速度、加速度的区别与联系,3、振动速度、加速度,无阻尼自由振动,相位关系： 速度的相位比位移的相位超前 加速度的相位比速度的相位超前 加速度和位移恰好反相,3、振动速度、加速度,位移、速度、加速度的区别与联系,无阻尼自由振动,幅度关系 位移振幅 振速振幅 加速度振幅,位移、速度、加速度的区别与联系,3、振动速度、加速度,无阻尼自由振动,对于谐合振动，可以

7、引入复数表示： 若 则称： 为 的复数形式。前面的谐合位移、振速、加速度的可用 复数形式表示。,3、振动速度、加速度,3、振动速度、加速度,无阻尼自由振动,复数位移,复数振速,复数加速度,用复平面上旋转复矢量表示谐合振动：前面的谐合位移、振速、加速度在复平面上的旋转矢量表示：,3、振动速度、加速度,4、振动的能量,无阻尼自由振动,系统不受外力作用，为能量守恒系统，它决定于初始激发时所给予的能量，但在系统内，能量会转换。,动能和势能的转换,振动质量的动能（kinetic energy）：,4、振动的能量,无阻尼自由振动,弹簧形变的势能（potential energy）：决定于弹簧形变过程只能够

8、得到的形变能，也等于m运动时克服弹性力所作的功。,4、振动的能量,振动系统的总机械能(mechanical energy )：,4、振动的能量,无阻尼自由振动,自由振动系统的能量关系,4、振动的能量,无阻尼自由振动,无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。 无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与弹簧上的势能相互循环转化的过程。,总结：,4、振动的能量,二、阻尼自由振动,1、阻尼振动方程 2、阻尼振动的一般规律 3、阻尼振动的能量 4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,机械振动系统的振动若有阻力作用，则为阻尼振动系统。受阻力的作用，系统能量损耗，质量振速幅度减小，以致于振动停止。,系统在振动时

9、始终会受到阻尼力（damping）的作用。任何一个实际机械振动系统都是阻尼振动系统。,1、阻尼振动方程,阻尼自由振动,声学上最简单的阻尼模型是牛顿阻尼（粘滞阻尼）即，阻力与元件的振动速度成正比。称为阻力系数或力阻。,1、阻尼振动方程,阻尼自由振动,1、阻尼振动方程,阻尼自由振动,定义 为阻尼系数,阻尼振动方程是常系数的二阶齐次微分方程，其一般解为,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,其中 是特征方程的两个根。由此得,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,（ 1 ）大阻尼振动阻力很大时则 为实数，并且,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,讨论：,因为,其中每一项按指数规律衰减。,2、阻尼振动

10、的一般规律,阻尼自由振动,初始条件不同时，位移 的变化规律不同。,讨论：,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,初始振速方向向下,讨论：,大阻尼振动,初始条件：,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,初始振速为零,讨论：,大阻尼振动,初始条件：,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,初始振速方向向上,讨论：,大阻尼振动,初始条件：,结论：大阻尼时， ，系统不会振动。,2、阻尼振动的一般规律,（ 2 ）小阻尼振动阻力不大时,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,讨论：,则,其中,将 带入,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,得,写成三角函数式,讨论：,上式还可写成其中 ， ，,2、阻尼振动的一

11、般规律,阻尼自由振动,表示振幅随时间衰减的振动,讨论：,由系统参数决定， 由初始条件决定。,令,显然， 并不是周期的，更谈不上是简谐的，但一般，当 时（极小阻尼情况下），称 为振幅随时间衰减的谐合（简谐）振动。 （尽管为非周期的，但过0点间隔是一样的）,2、阻尼振动的一般规律,阻尼自由振动,讨论：,结论：极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。,阻尼自由振动,2、阻尼振动的一般规律,结论：大阻尼时，系统不会振动。,3、阻尼振动系统的能量,阻尼自由振动,小阻尼单自由度条件下，振动系统的固有频率为：,而在极小阻尼条件下， 固有频率近似为：,所以，有：,任一时刻的总振动能为

12、振动位能与势能的和,即：,阻尼自由振动,3、阻尼振动系统的能量,位移:,振速:,记 ，则：,阻尼自由振动,3、阻尼振动系统的能量,阻尼振动系统中总能量是随时间变化的，即使在一个周期内也是有起伏的。,阻尼自由振动,取整个周期内能量的平均，得,式中,3、阻尼振动系统的能量,阻尼自由振动,3、阻尼振动系统的能量,阻尼振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减,阻力系数 ： 最先引入阻力与速度成线性关系，（粘滞阻尼） =力/速度 MKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,阻尼系数 ：解方程时引入的；分析其物理意义：在 时， 振子自由振动：,所以，,4、阻尼振

13、动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,小阻尼单自由度振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的谐合振动。 是其振幅，,在M.K.S制中,单位,可见 的物理意义为：小阻尼单自由度振动系统自由振动时，在单位时间内振幅相对变化量的自然对数值。愈大，即阻力愈大，振幅 的衰减愈快,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,对数衰减量 ：一个周期内振幅的对数衰减。,阻尼自由振动,所以,因为,阻尼振子自由振动的振幅在一个周期内相对变化量的自然对数值为阻尼振子的对数衰减量。对数衰减量无量纲。,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,衰减模数 定义：阻尼振子自由振动，振幅衰减到原来 倍时所需的时间，称作阻尼振子的衰减

14、模数，记 。在M.K.S制中，单位，Sec,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,品质因数 ：定义为振幅衰减到初始值的 所经过的周期数为品质因数，即所以 因为 所以,阻尼自由振动,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼振子的平均能量为： 一个周期内损失的能量为：,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,由系统的Rm，m，D决定，反映了系统的性质，是系统参数。分析 的物理意义：,损失能量的相对值：,Qm值反比于阻尼振子自由振动时一个周期内振动能量损失的相对值。,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼自由振动,品质因数 是表征系统特性的常数，其数值反映了系统所受阻尼作用的大小。,

15、阻尼自由振动,4、阻尼振动系统中的阻尼量的描述,阻尼作用 愈大，品质因数 愈低，振动衰减愈快。,阻尼自由振动,阻尼振动的衰减规律,实线描述质点位移随时间t变化的总规律，其振幅每隔一个周期都有一定降低； 虚线描述了振幅衰减规律。,重点提示！,实际系统一般都是衰减系统，其原因在于系统中的阻尼力。 衰减振动方程为二阶常微分方程。 大阻尼时，系统不会振动。 极小阻尼条件下，阻尼振动系统的自由振动是振幅随时间衰减的简谐振动。 振动系统的能量近似地随时间作指数规律衰减。,阻尼自由振动,2-2 2-3 2-4 2-15*（选做）,课后作业：,1.2 单自由度机械振动系统的强迫振动,声 与 振 动 基 础,内容提要,一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动2、有阻尼系统的强迫振动 二、强迫振动的过渡过程 三、强迫振动的稳态振动1、机械阻抗2、频率特性3、激励力对振动系统的输入功率,一、强迫振动方程及其解,一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振动持续不停，就要不断从外部获得能量。,