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1、 第二章第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：一：选择题：1 1. . 若随机变量若随机变量 的分布函数为的分布函数为与与则则a a ,b,b取值为取值为21, XX)(1xF)(2xF（ ）时，可使）时，可使F(x)=aF(x)=a-b-b为某随机变量的分布函数。为某随机变量的分布函数。)(1xF)(2xFA.3/5,-2/5A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2D.1/2,-3/2分析分析：由分布函数在：由分布函数在的极限性质，不难知的极限性质，不难知a,ba,
2、b应满足应满足a-a-b=1b=1, ,只有选项只有选项A A正确。正确。 答案答案 选：选：AA2 2. . 设设 X X ( (x x),),且且 (-(-x x)=)= ( (x x),),其分布函数为其分布函数为F F( (x x),),则对任意则对任意实数实数a a, , F F(-(-a a)=()=( ) )。 A.A.1-1-d d B B. . - - d d C C.F(a).F(a) D D.2F(a)-1.2F(a)-1ax 0)(x21ax 0)(x分析：分析：是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；是偶函数，可结合标准正态分布来考虑； d d ax 0)(F(a)F(a
3、)F(0)F(0)；F(0)F(0)0.50.5；F(a)F(a)F(-a)=1F(-a)=1 答案答案 选：选：xBB3 3. .设设X XN N( (, ,),),则随着则随着的增大，的增大，P P(|(|X X- -| 1p2p1p2p 答案答案 选：选： AA5 5. .设设是随机变量且是随机变量且，则对任意常数，则对任意常数 ，X)0,()(,)(2XDXEc（）成立。）成立。222)(.cEXcXEA22.()()BE XcE X22)()(.XEcXEC22)()(.XEcXED分析：分析： 答案答案 选：选： D由由，得，得2)(,)(XDXE2222)()(EXXDEX)2(
4、)(222ccXXEcXE2222222)(22cccccEXEX)2()(222XXEXE222222222EXEX显然显然22)()(XEcXE二：题空题二：题空题1.1. 设在每次伯努里试验中，事件设在每次伯努里试验中，事件 A A 发生的概率均为发生的概率均为 p,p,则在则在 n n次伯努里试验中，事件次伯努里试验中，事件 A A 至少发生一次的概率为（至少发生一次的概率为（ ） ，至，至多发生一次的概率为（多发生一次的概率为（ ） 。 答案答案 填：填：(1-(1-p)(1-(1-p) );); (1-p)(1-p) +np(1-p)+np(1-p)nn1n由伯努里概型的概率计算公
5、式，由伯努里概型的概率计算公式， ，据题意可知，据题意可知，事件事件A A至少发生一次的概率为至少发生一次的概率为或或，knknkk nppC)1 (1n nppC)1 (100事件事件A A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为= =+ +knkkK NppC)1 (10n nppC)1 (00111)1 (n nppC2.2. 设随机变量设随机变量Y Y在区间在区间11，66上服从均匀分布，则方程上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（有实根的概率为（ ） 。012Yxx分析分析：方程：方程有实根当且仅当有实根当且仅当 0 0，即，即|Y|Y| 2,2,012Yxx则则 P(|Y|P(|Y
6、| 2)=2)=d dx=0.8x=0.8 答案答案 填：填：0.80.8 62513.3. 设设 X X，对，对X X的三次独立重复观察中，的三次独立重复观察中， 其他, 010,2)(xxxf事件事件 X X 0.50.5出现的次数为随机变量出现的次数为随机变量Y,Y,则则PY=2PY=2=(=( ) )。分析分析：PXPX0.5=0.25,0.5=0.25,Y Y服从服从B B(3,0.25)(3,0.25)分布分布, ,则则PYPY=2=2= = 答案答案 填填: : 75. 025. 022 3C6496494.4. 设设X X B(2,p),YB(2,p),Y B(3,p),B(3
7、,p),且且P PXX 1=1= , ,则则P PYY 1=(1=( ) )。95分析分析：由：由PXPX 1=1-PX=0=1=1-PX=0= =，可得，可得 p=p= , ,则则P PYY 1122pp 95 31=1-PY=0=1-PY=0= = 答案答案 填：填： 271927195.5.设随机变量设随机变量X X服从均值为服从均值为 1010，标准差为，标准差为 0.020.02 的正态分布，的正态分布，设设（x x）为标准正态分布函数，已知为标准正态分布函数，已知（2.52.5）=0.993=0.993 8,8,则则X X 落在区间（落在区间（9.95,10.059.95,10.0
8、5）内的概率为（）内的概率为（ ） 。分析分析：P9.9596)=1-96)=1-P P( (X X 96)=1-96)=1-( ()=0.023,)=0.023,24即即 ( ()=0.977,)=0.977,查表得查表得=2=2，则，则 =12=12，即且，即且X XN N(72,144)(72,144)，24 24故故P P(60(60X X84)=84)=P P(-1(-11)=21)=2(1)-1=0.682(1)-1=0.6821272Xexcelexcel 计算的函数为计算的函数为 NORMINVNORMINV NORMDISTNORMDIST8.8. 设设测量误差测量误差X X
9、N N(0(0，100)100)，求在，求在 100100 次独立重复测量中至次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于少有三次测量误差的绝对值大于 19.619.6 的概率，并用泊松分布的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到求其近似值（精确到 0.010.01） 。解：由于解：由于X XN N(0(0，100)100)，则，则P P(|(|X X| |19.6)=1-19.6)=1- P P(|(|X X| | 19.6)=21-19.6)=21-(1.96)=0.05(1.96)=0.05 且显然且显然Y YB B(100,0.05),(100,0.05),故故 P(YP(Y 3)3)
10、=1-=1- P P( (Y Y 2)=1-2)=1-9822 1009910095. 005. 095. 005. 010095. 0C设设 =np=np=1000.05=5=1000.05=5，且，且Y Y P P(5),(5),则则P P( (Y Y 3)=1-3)=1- P P( (Y Y 2)=1-2)=1-=0.875348=0.875348124652. 015!1205 kkek9.9. 设设一大型设备在任何长为一大型设备在任何长为t t的时间内，发生故障的次数的时间内，发生故障的次数N(t)N(t)服服从参数为从参数为 t t的泊松分布，求：的泊松分布，求：（1 1）相继两次
11、故障之间的时间间隔）相继两次故障之间的时间间隔T T的概率分布；的概率分布；（2 2）在设备已无故障工作）在设备已无故障工作 8 8 小时的情况下，再无故障工作小时的情况下，再无故障工作 8 8小时的概率。小时的概率。解：（解：（1 1） 只需求出只需求出T T的分布函数的分布函数F(t)F(t)：当当 t t t t)=)= 1-1-P P( (N N( (t t)=0)=0)= = tteet1)(!0110可见可见 T T 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布。（2 2）P P( (T T 16|16|T T 8)=8)=16 8 8(16)1(16)1 (1) (8)1(8)1
12、(1)t t tP TP TeeP TP Te 10.10.设设X X服从参数为服从参数为 2 2 的指数分布，求证：的指数分布，求证：Y Y=1-=1-在在00，11上上Xe2服从均匀分布。服从均匀分布。证明：证明： 由由X X的分布可见其有效取值范围是的分布可见其有效取值范围是00，+),+),则则Y Y的有的有效取值范围是效取值范围是00，11，从而：，从而：当当 y y 0 0 时，时，F F( (y y)=0;)=0; 当当y y 1 1 时，时，F F( (y y)=1;)=1;当当 0 0y1,y1, F F( (y y)=)=P P( (Y Y y y)=)= P P1-1-y
13、 y Xe2= =P P X X=1-=1-=1-(1-=1-(1-y y)=)=y y)1ln(21y)1ln(212ye对对F F( (y y) )关于关于y y求导数即得求导数即得Y Y的密度函数：的密度函数： 其他, 010, 1)(yyf故故Y Y在在00，11上服从均匀分布。上服从均匀分布。11.11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为 0.40.4，用，用X X表示表示途中遇到红灯的次数，求途中遇到红灯的次数，求X X的分布律、分布函数和数学期望。的分布律、分布函数和数学期望。解：显然解：显然X XB B(3,0.4),(3,0.4),其分布律为其分布律为，131 36 . 04 . 0iCiXPi=0,1,2,3,i=0,1,2,3,分布函数为：分布函数为： ， E(X)=E(X)= x2 12x1 125811x0 125270 0)(xxF5612.12. 设设，求随机变量，求随机变量的期望的期望。 0,00,)(222 2 xxeax xfXaxXY1)(YE解：由解：由，可知，可知0,00,)(222 2xxe ax xfXaxdxeax xd
