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1、概率论基础 （）2009年2月,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,1,2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 分布列，分布函数 常见：两点分布、二项分布、泊松分布 2.3 连续型随机变量及其分布 密度函数，分布函数 常见：均匀分布、正态分布、指数分布 2.4 随机变量的数字特征,第二章 随机变量,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,2,为了便于研究，我们需要将随机试验的结果数量化，即让不同结果对应一个不同的数字。这个随着试验结果的不同而不同的过程，可以用变量来表示，定义为随机变量。本质上是样本点的函数。 Def.设随机试验的样本空间为S， 为S上的实(单)值函数，则称 为随
2、机变量。 例5：掷硬币的试验中，S=正面，反面，,2.1 随机变量,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,3,此时 表示取值为a的所有样本点的集合，是样本空间的子集，也就表示某一事件，简记为。 一般地常用X，Y或 等表示随机变量，用小写x，y表示随机变量的值。 随机变量与一般函数的区别： a、由于试验的随机性，随机变量的取值不可预知； b、由于实验的结果有一定的概率，从而随机变量的取值也有一定的概率。,2.1 随机变量,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,4,如果一个随机变量的全部可能取值只有有限或可数无穷个，则称其为一个离散型随机变量。称为该随机变量的概率分布或分布律(列)，也称概率函
3、数。 易知： 设X是随机变量，称 为X的分布函数，记为 。 易知分布函数是单增函数，且不小于0，不大于1。,2.2离散型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,5,2.2离散型随机变量及其分布,【1】两点分布随机变量只有两个可能取值x1和x2，其分布(列)为特别地，x1=0和x2=1时，称为0-1分布。 例如：掷一枚均匀硬币，其结果为一服从两点分布的随机变量，p=0.5。 其分布列为：,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,6,2.2离散型随机变量及其分布,第二章 随机变量,7,山西大学数学科学学院,其分布函数为：,【2】二项分布(Binomial)概率分布为 称X服从参数
4、为n，p的二项分布，记为 特别地，n=1时记为两点分布。,2.2离散型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,8,例：检查4件产品，已知合格率p=0.7。则合格品数服从B(4,0.7)。 其概率分布为：,2.2离散型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,9,B(4,0.7)的分布律为：,2.2离散型随机变量及其分布,第二章 随机变量,10,山西大学数学科学学院,二项分布随机变量是n个独立同分布的二点分布随机变量之和。,n重伯努利试验是由n个相同的、独立进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试验中A发生的次数为Xi（i=1,2,n），则Xi相互独立，且服从相
5、同的二点分布B（1，p），此时n重伯努利试验中A出现的总次数为：,它服从二项分布B（n，p）。,2.2离散型随机变量及其分布,【3】泊松分布(Poisson) 设随机变量X的分布为则称X服从参数为的泊松分布, 记为XP().以下参数为1。,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,11,2.2离散型随机变量及其分布,注:1837年,法国数学家泊松发现,当n很大,p很小,=np时,有亦即,当n充分大而p很小时,服从二项分布B(n,p)的随机变量X近似的服从参数为=np的泊松分布. 泊松分布是描述大量重复试验中每次发生的可能性很小的事件所出现次数的一种概率分布模型. 例如：单位时间里光顾某超市的人数
6、，一匹布中出现的疵点数，一页书中出现的错字数，某段时间内发生的意外事件(如车祸、地震、火灾)的次数，某交换的电话呼唤次数等，都可近似地用泊松分布来描述。,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,12,一般地，离散型随机变量的分布列为：其分布函数为 ， 分布函数图象为阶梯型。 对任意实数a，b（ab），随机变量在(a，b内的概率为,2.2离散型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,13,Def.如果对随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积的函数f(x)，使得对于任意实数x，有，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 性质： 若f(x
7、)在点x处连续，则,2.3连续型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,14,2.3连续型随机变量及其分布,第二章 随机变量,15,山西大学数学科学学院,连续型随机变量的分布函数 设连续型随机变量X 的分布密度为p(x),则其分布函数为,即F(x)是p(x)在区间(-,x 上的积分值。在一定条件(例如p(x)最多有有限多个间断点)下，有 。,2.3连续型随机变量及其分布,【1】均匀分布若随机变量X密度函数为 则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为 。 积分可得其分布函数为：,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,16,2.3连续型随机变量及其分布,第二章 随机变量,17
8、,山西大学数学科学学院,，其密度函数和分布函数的图象为：,说明：若XU(a,b),则X在a,b中任一子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,而与该子区间的位置无关,故而称之为均匀分布.,【2】正态分布 若密度函数为 则称X服从参数为 的正态分布，记为 ，其中 为常数，,2.3连续型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,18,正态分布的分布函数形式为：,2.3连续型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,19,特别地，当 时称为标准正态分布，通常记为 。,分布函数为：,其密度函数为：,2.3连续型随机变量及其概率分布,说明 现实生活中，有许多随机变量都服从或
9、近似服从正态分布，如正常情况下一个年级一门课程考试的成绩；某市同龄人的身高；某地区每年月份的平均气温、湿度以及降雨量等。进一步的理论研究表明一个变量如果受到了大量的随机因素的影响,而各个因素所起的作用又都很微小时,这样的随机变量一般都服从正态分布。正态分布是最常见最重要的分布，无论在理论研究，还是在实际应用中，都有特别重要的地位。,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,20,正态密度函数图形特征： 1、关于 对称； 2、在 处达到最大值; 3、在 处有拐点，且以x轴为水平渐近线； 4、 确定了曲线的位置，确定了中锋的陡峭程度(口径)。,2.3连续型随机变量及其分布,山西大学数学科学学院,第二
10、章 随机变量,21,2.3连续型随机变量及其分布,正态分布的标准化：Th1：设 ，则 。 本定理就给出了一般正态分布的标准化过程。非常重要。标准正态分布分布函数的特征：特别地：,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,22,2.3连续型随机变量及其分布,虽然正态随机变量X的取值为全体 ，但是它99.73%的值落在在 内，这个性质被实际工作者称为“3 sigma 准则” 这个概率已经很大了，所以工业生产中很有用，比如测量数据，只要落在标准数据（mu）的这个范围内就可以接受，认为是合格的。,山西大学数学科学学院,第二章 随机变量,23,2.3连续型随机变量及其分布,第二章 随机变量,24,山西大学
11、数学科学学院,例：恒温箱是靠温度调节器根据箱内温度的变化不断进行调整的，所以恒温箱内的实际温度X（单位为）是一个随机变量。如果将温度调节器设定在d，且 ，其中 反映温度调节器的精度。 (1)当d=90， =0.5时，试求箱内温度在8991的概率；,解：(1)所求概率为：,说明：式中0.9972是通过查“标准正态分布函数表”得出的。,2.3连续型随机变量及其分布,第二章 随机变量,25,山西大学数学科学学院,例：恒温箱是靠温度调节器根据箱内温度的变化不断进行调整的，所以恒温箱内的实际温度X（单位为 ）是一个随机变量。如果将温度调节器设定在d ，且 ，其中 反映温度调节器的精度。 (2)当 =0.
12、5时，要有95%的可能性保证箱内温度不低于90，问温度调节器设定为多少度为宜？,解：(2)按题意d满足：,查表的,2.3连续型随机变量及其分布,第三章 随机变量的数字特征,26,山西大学数学科学学院,【3】指数分布,设随机变量X的分布密度函数为：,则称X服从参数为lambda的指数分布,记为XE(). 其分布函数为：,右图中XE(1).,2.3连续型随机变量及其分布,第三章 随机变量的数字特征,27,山西大学数学科学学院,说明在实际应用中，一些事件发生所需要的“等待时间”，如两架飞机先后起飞之间的时间，母鸡两次下蛋间隔的时间等，就服从指数分布。一些没有明显“衰老”机理的元器件的寿命，如电子元件的寿命，电路中保险丝的寿命，宝石轴承的寿命等，也可用指数分布来描述。,2.4,
