《浙江省奉化中学高二数学(人教a版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省奉化中学高二数学(人教a版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1课课 题：题： 第 12 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程：一、引入一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理定理 1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad 时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为bdac ，
2、而22|ba ，22|dc ，所以柯西不等式的几何意义就是：|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理定理 2：（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理定理 3：（三角形不等式）：（三角形不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：2 312 312 322 322 212 21)()()()()()(yyxxyyxxyyxx分析：2思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理定理 4：（柯西不等式的推广形式）：（柯西不等式的推广形式）：
3、设n为大于 1 的自然数，iiba ,（i1，2，n）为任意实数，则：211212)( niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nn ab ab ab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。证明：构造二次函数：22 222 11)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数： niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0)(4)(4121221 niiniiniiibaba，即：)()(121221 niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅
4、当nn ab ab ab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。如果ia（ni 1）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式变式 1 设), 2 , 1(0,nibiRaiiiniii baba212)(，等号成立当且仅当)1 (niabii3变式变式 2 设 ai，bi同号且不为 0（i=1，2，n） ，则：iiiniii baaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。二、典型例题二、典型例题：例 1、已知122ba，122 yx，求证：1|byax。例 2、设Rdcba,，求证：222222)()(dbcadcba。例 3、设,为平面上的向量，则|。例
5、 4、已知cba,均为正数，且1cba，求证：9111cba。方法 1：方法 2：（应用柯西不等式）4例 5：已知1a，2a，na为实数，求证：2112)(1 niiniiana。分析：推论：在n个实数1a，2a，na的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于21Sn，当且仅当naaa21时，平方和取最小值21Sn。三、小结三、小结：四、练习四、练习：1、设 x1，x2，xn 0, 则1111 nxxxniiniii2、设Rxi（i=1，2，n）且111 niii xx求证: njijiniixxx1123、设 a 为实常数,试求函数)cos(sin)(xaxxf (xR)的最大值4、求函数xb
6、xaxfcossin)(在)2, 0(上的最大值,其中 a，b 为正常数5五、作业五、作业：1、已知：122ba，222 nm,证明：22bnam。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若 Rzyx,，且zyx=a，222zyx=2 21a )0(a，求证：zyx, 都是不大于a32的非负实数。证明：由yxaz 代入222zyx=2 21a可得 021)()(22222ayaxyax Rx 0 即 021)(8)(42222 ayayya化简可得 ：0232 ayy 0a ay320同理可得：ax320 ， az320由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可
7、以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设 ab 为不相等的正數，试证：(ab)(a3b3)(a2b2)2。4、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求z9 y1 x4的最小值。5、设 x，y，zR，求 222zy2xzyx2的最大值。67、设三个正实数 a,b,c 满足)(2)(4442222cbacba，求证： a，b，c 一定是某三角形的三边长。8、求证)3( nn个正实数 a1，a2，an满足)(1()(44 24 1222 22 1nnaaanaaa9、已知Rzyx,且12xx求证: 1222222 zz yy xx。10、设Rzyx,求证: 1222222222 xyyxz zxxzy yzzyx。11、设Rzyx,且 x+2y+3z=36,求zyx321的最小值
