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1、1椭椭 圆圆 题型一：利用椭圆的定义解题题型一：利用椭圆的定义解题 知识总结：知识总结：（1）椭圆的定义：12122 (2PFPFaaFF（2）椭圆的标准方程：焦点在 x 轴：（0） ；12222 by axab焦点在 y 轴：（0） ；12222 bx ayab（3）椭圆的标准方程判别方法：看分母的大小，即：如果项的分母大于项的分母，则焦点在轴上；2x2yx如果项的分母大于项的分母，则焦点在轴上；2y2xy（4）字母的关系：, ,a b c222bca（5）焦距：122FFc例题分析例题分析1、写出椭圆的焦点坐标；221(1)mxym变式变式：已知方程，对不同范围内的221(0)mxym 值
2、分别指出方程所代表的曲线类型；m2、椭圆的焦距为 2,则= ； 22 15xy mm椭圆的焦距为 6,则= ；22 15xy mm变式：已知椭圆的22sincos1(02 )xy焦点在轴上,则的取值范围是 y3 3、已知为椭圆上一点,为椭圆两焦P22 1259xy12,F F点,=4,求的长；1PF2PF变式变式 1 1：已知为椭圆上一点,为椭P22 1259xy12,F F圆两焦点,求的最大值；12PFPF变式变式 2 2：，已知为椭圆P上一点,为椭22 1259xy12,F F圆两焦点,线段的中点1PF在轴上，求的值；My12PFPF变式变式 3 3：已知为椭圆内一点,( 3, 3)B 2
3、2 1259xy是椭圆的右焦点,是椭圆上的动点,2(4,0)FM求的最大值.（答案：）2M FM B2 13变式变式 4 4：已知为椭圆内一点,( 3, 3)B 22 1259xy是椭圆的右焦点,是椭圆上的动点,2(4,0)FM求的最大值.（答案：12）2M FM BxyoF1F2P MxyoF1F2(4,0)MBxyoF1F2(4,0)MB2题型二：椭圆的简单几何性质题型二：椭圆的简单几何性质焦点在轴上椭圆方程为（0）.x12222 by axab（1）范围：； axa byb （2）对称性：分别关于轴、轴成轴对称；xy关于原点中心对称； （3）顶点：、1(,0)Aa2( ,0)A a1(0
4、,)Bb2(0, )Bb长轴： 短轴：122A Aa122B Bb长半轴长： 短半轴长： ab（4）离心率： 意义：表示椭圆的扁平程度ace 离心率取值范围：01e离心率大小对扁平程度的影响：如果越接近于 1，则越大，越小，椭圆越扁；ecb如果越接近于 0，则越大，越小，椭圆越圆；ecb题型分析： 1 1、根据条件求椭圆的标准方程、根据条件求椭圆的标准方程（1）已知，时，求椭圆的标准方程；10ab2 5b （2）长轴长为短轴长的 2 倍，且椭圆过点；( 2, 4)（3）已知椭圆的中心在原点，且经过点，03，P，求椭圆的标准方程；ba3（4）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程；
5、（设方程)2,3(A) 1,32(B）122nymx（5）一短轴的一个顶点与焦点组成三角形周长B12,F F为且=，求椭圆方程；42 321BFF322 2、焦点三角形问题（面积问题）、焦点三角形问题（面积问题）方法原理：方法原理：余弦定理余弦定理椭圆定义椭圆定义CabSsin21（1）已知椭圆方程，焦点为，012222 baby ax1F，是椭圆上一点，2FP21PFF求：的面积（用、表示） ；21PFFab分析：由余弦定理知： 2 21FF2 22 1PFPF12PF2 24coscPF由椭圆定义知： aPFPF2213则得 2cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFF
6、212sin21 cosb2tan2b焦点三角形面积：焦点三角形面积：1 22 12tan()2MF FSbFMF 1、若 P 是椭圆上的一点，、是其焦16410022 yx1F2F点，且，求的面积 ;6021PFF21PFF2、已知 P 是椭圆上的点，、分别是192522 yx1F2F椭圆的左、右焦点，若，求21|2121 PFPFPFPF的面积；21PFF3、已知椭圆的左、右焦点分别是、191622 yx1F，点 P 在椭圆上. 若 P、是一个直角三角形2F1F2F的三个顶点，求点 P 到轴的距离；x练习：1、椭圆上一点 P 与椭圆两个焦点、1244922 xy1F的连线互相垂直，则的面积
7、为（ ）2F21PFFA. 20 B. 22 C. 28 D. 242、椭圆的左右焦点为、， P 是椭圆1422 yx1F2F上一点，当的面积为 1 时，的值为21PFF21PFPF （ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 63、椭圆的左右焦点为、， P 是椭圆1422 yx1F2F上一点，当的面积最大时，的值为21PFF21PFPF （ ）A. 0 B. 2 C. 4 D.24、已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、1F为焦点，点 P 在椭圆上，直线与倾斜角的差2F1PF2PF为，的面积是 20，离心率为，求椭圆9021PFF35的方程；5、点 P 为椭圆上一点，）（0ba116y 25
8、x22 是左右焦点；21F,F（1）求的最大值21PFPF 4（2）若，求的面积21PFPF 21FPF（3）若，求的面积 60PFF2121FPF3 3、离心率：、离心率：cea常见类型：常见类型：直接求出直接求出的值；的值；直接求出直接求出的比的比, a c, a c 值；值；解齐次方程求解齐次方程求的值；的值； 解齐次不等式求解齐次不等式求的范围；的范围；c ac a（一）直接求出（一）直接求出的值或直接求出的值或直接求出的比值；的比值；, a c, a c （1）已知椭圆的长轴是短轴长的 2 倍，求椭圆的离心率；（2）若椭圆)0( , 12222 baby ax短轴端点为P满足21PF
9、PF ，求椭圆的离心率；（3）已知 F1为椭圆的左焦点，A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当，11PFF APOAB（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率；（答案：）2 2（4）已知21FF、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221FPFFPF， 求椭圆的离心率；（答案：） （提示：正玄定理、积化和差公式）6 3（二）解齐次方程求（二）解齐次方程求的值的值c a（1）点是椭圆22ax+22by=1（）上一点，P0ab21FF、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221FPFFPF ,321PFF求椭圆的离心率；（答案：13 ）（2）椭圆的四个顶点为 A、B、C、D，
10、若四边形 ABCD 的 内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率；（答案：215 ）（3）已知直线 L 过椭圆12222 by ax（）的0ab5顶点 A、B,如果坐标原点到直线 L 的距离为( ,0)a(0, )b，求椭圆的离心率；（答案：）2a6 3（4）以椭圆12222 by ax的右焦点为圆心作圆，使2F该圆过椭圆的中心且与椭圆交于两点，椭圆左焦,M N点为，直线与圆相切,求椭圆的离心率；（答案：1F1MF13 ）（5）以椭圆12222 by ax的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于两点，NM、如果，求椭圆的离心率；（答案：MOMF 13 ）（6）在ABC中，
11、ABBC，7cos18B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的离心率e 3 8（7）设椭圆12222 by ax的两个焦点分别为21FF、，过 点作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等2FP12FPF腰直角三角形，求椭圆的离心率；（答案：21）（8）已知21FF、是椭圆12222 by ax的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若2ABF是正三角形，求椭圆的离心率；（答案：33）（三）解齐次不等式求（三）解齐次不等式求的范围的范围c a （1）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点M总在椭圆内部，求离心率的范围；答案2(0,)2（2）已知21FF、
12、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且9021PFF，求离心率 e 的范围；答案： 1 ,226（3）已知21FF、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021PFF，求椭圆离心率范围；答案： 1 ,21（4）设椭圆12222 by ax的两焦点为21FF、，若椭圆上存在一点，使，求离心率范围；Q0 21120 QFF（参考答案136 e） 题型三：直线与椭圆的位置关系题型三：直线与椭圆的位置关系联立得到一元二次方程：则222210yx ab AxByC 当两个焦点相交；0 当一个焦点相切；0 当没有焦点相离；0 1、直线 x=2 与椭圆的交点个数为（ ）13422 yx(A)0 个 (B)
13、1 个 (C) 2 个 (D) 3 个2、直线与椭圆有且只有一个交1 mxy1422 yx点，则的值为（ ）2m(A) (B) (C) (D) 21 32 43 543、椭圆的长轴端点为，不同于13422 yxNM、的点在椭圆上，则的斜率之积为（ NM、PPNPM、 ）(A) (B) (C) (D) 43 34 43 344、若直线与椭圆恒有公)( 1Rkkxy1522 myx共点，求实数的取值范围；m题型四：直线与椭圆相交的弦长公式题型四：直线与椭圆相交的弦长公式（两点之间的距离）22 1212()()ABxxyy4)()1 (1212 212 122xxxxkxxkAB2 21121222
14、111(1)()4AByyyyy ykk通径：过焦点坐标且垂直于焦点所在轴的线段长度通径：过焦点坐标且垂直于焦点所在轴的线段长度 222bAFBFa22bABa1、判断直线与椭圆的位置关01 yx141622 yxxyO2F1FxyO2F1FxyO2F1FxyO2F1FBA7系，如果相交，求相交弦的弦长；2、已知椭圆的左右焦点分别为，11222 yx21FF、若过点及的直线交椭圆于两点，求)2, 0( P1FBA、；AB3、已知分别是椭圆的左右焦点，过21,FF2 212xy作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则1F4QP、的面积；PQF24、已知椭圆及直线1422 yxmxy（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程；51025、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，O直线与该椭圆交于和，且，1 xyPQOQOP ，求椭圆方程；210PQ题型五：直线与椭圆的距离问题题型五：直线与椭圆的距离问题1、点椭圆上的一点，求点到直线P141622 yxP的最大、最小距离；
