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1、第10 章 多自由度体系无阻尼自由振动分析,结构动力特性分析特征值问题的性质,结构无阻尼自由振动方程,将简谐运动,代入上式可得,（10-1）,（10-2）,（10-3）,方程（103）为特征值问题。对特征方程分析可得一个动力系统的固有频率以及振型。,1、固有频率,从方程（103）可知：要获得a非零解，必须要求矩阵系数行列式为零：,（10-4）,式（104）称为系统的频率方程，对其进行行列式展开可以获得一个关于2的n次（自由度数）的代数方程，它的n个根 表示系统可能的n个振型的频率。,结构动力特性分析特征值问题的性质,2、振型,(10-5),由频率方程式（104）求得系统n个固有频率 后，可以将
2、任一个固有频率 回代入特征方程（103），以获得对应的振幅向量a：,式中：,上式中，由于系数矩阵 的行列式为零，因此是不定方程。对振幅向量除以a1，并记 以及 ，式(105)可以拆分为两个独立的系列：,多自由度体系动力特性分析（举例）,如图所示结构，E=2.6x107kN/m2，各柱尺寸0.6x0.6m. 求自振频率和振型。,解：用刚度法得,k22,k12,则质量阵和刚度阵为,由频率方程解得：,频率方程为：,振型1（令 ）：,振型2（令 ）：,Betti定理：若一结构分别受两种荷载体系作用并引起了相应的位移，则荷载体系1在荷载体系2对应位移上所作的功等于荷载体系2在荷载体系1对应位移上所作的功
3、。,情况1（先加载荷载a，然后加载荷载b）：,加荷载b：,加荷载a：,情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：,加荷载a：,加荷载b：,由于结构变形与加载次序无关，因此在两种情况下荷载作功应相等：,振型正交性（1）Betti定理,振型正交性（2）利用Betti定理证明振型正交性,如将自由振动看作由惯性力引起的变形，将两个振型对应的惯性力作为施加荷载，振型即为惯性力荷载作用引起的位移（如右图所示）。对此体系应用Betti定理：,由于惯性力向量可表达为：,将此代入式(I)，并注意m对称性，得：,( I ),或写为,归一化振型,显然，归一化振型可以由标准振型获得：,在结构动力分析中，常用到正交归一化
4、振型。一个振型如满足以下条件则称为归一化振型，用记号 表示：,对于刚度阵，有：,（1）如果m和k都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一 定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果m正定，并且k为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。,从数学角度理解特征系统的基本特性,（2） 特征向量（或模态向量）关于质量矩阵m和刚度矩阵m正交，即：,一个特征系统具有以下特性：,特征系统的基本特性（续）,(3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质,定义：,可以证明，对于任意x有:,得到第i 阶特征值:,由振型正交性可得，当x为系统的某阶特征向量时，则有:,特征系统的基本特性（续）,(4) 特征值的移轴性质,或写为：,式中：,式（10-7）和标准特征值方程有相同的特征向量，但特征值相差，即：,将特征值方程 两边分别减去 ，则有另一等价形式：,(10-7),(5) 特征值的分隔性质,则对角矩阵D 中有i 个负元素。,如果有,(6) 位移展开定理,对于n 维空间中的任意向量x都可以按模态矩阵展开：,系数q可按右式确定：,以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。,特征系统的基本特性（续）,
