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1、00:44:02,概率论,概率论与数理统计,数学是科学的大门和钥匙., 培根,00:44:02,概率论,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,00:44:02,概率论,一 随 机 试 验二 事件间的关系与运算三 频 率 与 概 率,1 随 机 事 件 的 概率,00:44:02,概率论,E1：抛一
2、枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,1) 随机试验,一 、 随 机 试 验,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,00:44:02,概率论,这些试验具有以下特点：,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。,E4：观察某一电子元件的寿命。,E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。,可以在相同的条件下重复进行；,称具备上面三个特点的试验为随机试验。,00:44:02,概率论,2) 样
3、本空间,定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,S1 : H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3 S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,要求：会写出随机试验的 样本空间。,00:44:02,概率论,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等； 基本事件：由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件： 空集。,3) 随 机 事 件,
4、我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现。,00:44:02,概率论,例如：S2 中,事件 A=2,4,6 表示 “出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “出现的点数不超过4”.,00:44:02,概率论,1) 包含关系,二 、 事件间的关系与运算,如果A发生必导致B发生，则,2）相等关系,00:44:02,概率论,3) 和（并）事件,事件 发生当且仅当,A, B 至少发生一个 .,4) 积（交）事件,事件 发生当且仅当A , B 同时发生.,00:44:02,概率论,5) 差事件,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,00:44:02,概率论,6) 互不相容
5、（互斥）,7) 对立事件 （逆事件）,请注意互不相容与对立事件的区别！,00:44:02,概率论,例如，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示 “产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示 “产品是合格品但不是一级品”;,表示 “产品是是一级品” ;,表示 “产品是合格品”.,00:44:02,概率论,8) 随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,00:44:02,概率论,练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运算关系表示下列各事件
6、.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A ,B , C 都发生.,(4) A ，B , C 至少有一个发生.,00:44:02,概率论,(5) A ，B , C 都不发生.,(6) A ，B , C 不多于一个发生.,(7) A ，B , C 不多于两个发生.,(8) A ，B , C 至少有两个发生.,00:44:02,概率论,三 、 频 率 与 概 率,1） 频率的定义和性质,定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A)
7、 。,00:44:02,概率论,它具有下述性质:,00:44:02,概率论,2 ） 频率的稳定性,实 验 者德摩根蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),20484040 12000 24000,106120486019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,00:44:02,概率论,3） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件：,00:44:02,概率论,4 ） 概率的性质与推广,00:44:02,概率论,00
8、:44:02,概率论,00:44:02,概率论,性质 9,要求：熟练掌握概率的性质。,00:44:02,概率论,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3） 排列： (1)可重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,四、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,00:44:02,概率论,4）组合： （1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从
9、n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,00:44:02,概率论,（2）常用组合公式：,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的,00:44:02,概率论,等可能概型（古典概型）,2 等可能概型,00:44:02,概率论,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,一、 等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为等可能概型，又叫做古典概型。,退 出,前一页,后一页,目 录,00:44:02,概率论,设
10、 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,00:44:02,概率论,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一 个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。 所以，所求概率为,00:44:02,概率论,例 2 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去,
11、 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,退 出,前一页,后一页,目 录,00:44:02,概率论,解：,例3 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：A = 5 颗骰子不同点 ；B = 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ；C = 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗 同是另一个点数,00:44:02,概率论,退 出,前一页,后一页,目 录,00:44:02,概率论,例4 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品
12、中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,00:44:02,概率论,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,00:44:02,概率论,2） 有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,此式即为二项分布的概率公式。,00:44:02,概率论,例 5 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率 为5%。现从该批产品中有
13、放回地抽取了30件，经 检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,假设这批产品的次品率为5%，那么1000件产品 中有次品为50件。这时有放回地抽取30件，次品有5 件的概率为,00:44:02,概率论,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推 断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟 然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,00:44:02,概率论,例 6 将 n个男生和m个女生(mn) 随机地排成一列, 问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,任意两个女生都不相邻时，,首先n个男生的排法有n!种，,每两个相邻男生之间有一个位
14、置可以站女生，还有 队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生 共有n+1个位置可以站，,所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,00:44:02,概率论,解： 设 A=“第 k 次取出的球是黑球”,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球从中将球取出依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的 概率,00:44:02,概率论,例 8 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个.试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 个数的乘积能被 10 整除；B = 取出的 n 个数至少有一个偶数 ；C =
15、取出的 n 个数至少有一个 5 则 A = B C.,00:44:02,概率论,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率,二 乘 法 定 理,三 全概率公式和贝叶斯公式,00:44:02,概率论,称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,一、条 件 概 率,1）条件概率的定义：,00:44:02,概率论,2）条件概率的性质：,00:44:02,概率论,而,所求概率为,解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 ,例 1 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,00:44:02,概率论,我们得,这就是两个事件的乘法公式,1）两个事件的乘法公式：,二、乘法公式,由条件概率的定义,00:44:02,概率论,则有,这就是n个事件的乘法公式,2）多个事件的乘法公式,00:44:02,概率论,则,由乘法公式，我们有,例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率,
