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1、大学物理,静电场的环路定理 电势能,2,补充： 功,一、恒力的功,定义：,矢量式,作用在沿直线运动质点上的恒力 F ，在力作用点位移上作的功，等于力和位移的标积。,单位：J 焦耳,3,二、变力的功,b,a,物体在变力的作用下从a运动到b。,怎样计算这个力的功呢？,采用微元分割法,4,第i 段近似功：,总功近似：,第2段近似功：,第1段近似功：,5,当 时,可用 表示,称为元位移; 用 表示,称为元功。,微分形式：,积分形式：,总功精确值：,在数学形式上，力的功等于力 沿路径L从a到b的线积分。,6,一 静电场力所做的功,点电荷的电场,7,结论: W仅与q0的始末位置有关，与路径无关.,8,（点
2、电荷的组合）,实验电荷q0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b 点时静电场力作的功为：,9,任意带电体的电场,结论：静电场力做功，与路径无关.,10,二 静电场的环路定理,静电场是保守场,结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.,任意带电体的静电场做功与路径无关,保守场：对任意闭合路径的环量为0的矢量场。,11,静电场的环路定理：,静电场的电场线不可能是闭合的，静电场是保守场，或者说静电场是无旋场。,12,证明：,用静电场的环路定理证明电场线不可能闭合。当以该闭合的电场线为积分回路，沿回路方向积分，dl与E方向一致，则E.dl恒为正值，该环路积分就不为零了，与静电场的环路定理矛盾。,1
3、3,静电场的环流等于零表明：静电力对电荷所作的功与路径无关，静电场是无旋场。,14,1、 电势能,保守力作功与路径无关，只取决于系统的始末位置。,存在由位置决定的函数 势能函数,做功与路径无关的力，叫做保守力。静电力是保守力。 任何做功与路径无关的力场，叫做保守场或有势场。静电场是保守力场,在保守力场中可以引进势能的概念。,由于此势能函数存在于静电场中，故称为电势能 。,三 电势能,15,重力作功与路径无关只与始末位置有关。 重力作功等于重力势能增量的负值, 运动员下降的高度,举例：重力做功,16,保守力作功以损失势能为代价。 保守力的功等于势能增量的负值。,电场力所做的功等于电势能增量的负值
4、。,b,17,静电场是保守场，静电场力是保守力. 静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.,电场力做正功，电势能减少.,18,令,试验电荷q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.,19,某一点的电势能：,某一带电体在空间激发电场，要确定电荷 在某一点电势能的值，必须选定电势能的零参考点；,若选B为势能零参考点：,物理意义：点电荷 在场点A的电势能等于将 从A点移到势能零点过程中电场力所做的功。,注意：电势能类似于重力势能，是属于系统的，即为相互作用的带电体系共有。,20,电势能与静电场本身的性质有关，还与引入的试探电荷大小和电性有关。,讨论,如果要描述
5、电场本身的性质，电势能显然是不合适的。,21,一 电势,令,22,电势零点的选取：,物理意义：把单位正试验电荷从点A移到无限远处时静电场力作的功.,有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.,23,将单位正电荷从A移到B时电场力作的功,电势差,24,静电场力的功,原子物理中能量单位: 电子伏特eV,场强反映的是电场中某点电场力的性质，电势反映的是电场中电场能量的性质,在静电场中，A，B两点之间的电势差等于把单位正电荷从A点沿着任意路径移到B点电场力所做的功。,计算电势差时，不论选择哪个点为电势零点，其电势差都是一样的，故计算电势差时不需要选择电势零点。,从电势差的角度理解，电
6、势是一个相对的概念。静电场中任一点的电势都是相对于电势零点的电势差。,25,二 点电荷电场的电势,令,26,0,V,点电荷周围空间任一点的电势,若场源电荷q 0，则空间各点电势V0 ，离点电荷越远电势越低，在无穷远处电势为零，最小值,若场源电荷q 0，则空间各点电势V 0 ，离点电荷越远电势越高 ，在无穷远处电势为零，最大值,讨论,27,三 电势的叠加原理,点电荷系,28,分立的点电荷系电势,物理意义：,点电荷系周围空间任一点的电势等于各点电势单独存在时在该点产生的电势的代数和。（这一点和场强的计算不同，场强的叠加是矢量叠加。）,29,电荷连续分布时,由电势的叠加原理，整个带电体在p点激发的电
7、势为：,30,(1)点电荷的电势分布:,(2)点电荷系的电势分布:,(3)任意带电体的电势分布:,31,计算电势的方法,（1）利用,已知在积分路径上 的函数表达式,有限大带电体，选无限远处电势为零.,（2）利用点电荷电势的叠加原理,32,根据定义,1 、解决场强的分布问题（这在高斯定理中已经解决）,电场具有对称分布时使用方便,2、选择积分路径（关键）,既然积分路径是任意的，为方便积分，常常选择场强同电场线的夹角为特殊角。所以一般情况下，沿着或逆着电场线,注意电势零点的选择问题,33,用 V的定义式 求 V 的步骤,分析出电场分布的对称性，利用Gauss Law求 E的分布,选择零电势点,选择容
8、易计算的积分路径,处理定积分,注意有时要分区间进行计算,34,静电场中某点的电势与势能零点的选择有关,势能零点的选取原则,当场源电荷分布在有限空间时，选择无穷远为零电势点 当场源电荷分布在无限空间时，不能选择无穷远为零电势点，而应该选择场中一个有限远的点,35,例1 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上. 求环轴线上距环心为x处的点P的电势.,解,36,讨 论,37,R，q 已知,解:,方法二 定义法,由定义：,对电荷有限分布的情况通常选无限远处为零电势点；对电荷无限分布的情况，通常不能选无限远处为零电势点，这时可选不定积分,38,通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势.,39
9、,例2 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面. 试求 （1）球面外两点间的电势差； （2）球面内两点间的电势差； （3）球面外任意点的电势； （4）球面内任意点的电势.,40,解,（1）,41,（4）,均匀带电球面内部为等势体，内部场强为0，外部电势与距离r成反比，外部场强与距离 平方成反比。,42,例 求等量异号的同心均匀带电球面的电势差.,解: (1)定义法 由高斯定理得：,由电势差定义:,（沿径向取积分路径）,43,(2)叠加法,由均匀带电球壳的电势分布:,44,两个同心带电球壳，半径为R1和R，电量分别为Q1和Q2, 填空：,扩展：,45,例3 “无限长”带电直导线的电势.,解,
10、令,讨论：能否选,对电荷有限分布的情况通常选无限远处为零电势点；对电荷无限分布的情况，通常不能选无限远处为零电势点，这时可选不定积分,46,求：电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。,解：由,分析 如果仍选择无限远为电势0点，将导致模型的改变，场强的表达式发生变化。必须选择某一定点为电势0点通常可选地球。现在选距离线 a 米的B点为电势0点。,例题3,对电荷有限分布的情况通常选无限远处为零电势点；对电荷无限分布的情况，通常不能选无限远处为零电势点，这时可选不定积分,47,由定义：,48,另,49,50,典型结论,1.点电荷电场中的电势分布:,3. 均匀带电球面的电势分布:,2. 均匀带电圆
11、环轴线上的电势分布:,4. 无限长均匀带电直线的电势分布:,(5)均匀带电圆盘轴线上的电势分布:,51,例求电偶极子电场中任一点的电势。 (P45例2),解：由叠加原理,其中,52,在电偶极子连线的中垂面上：,U=0,等势面,在电偶极子连线的中垂面上场强不等。可见电势相等处的场强不一定相等。,53,+,电偶极子的等势面,等势面,54,计算电势的方法,1、点电荷场的电势及叠加原理,小 结,计算场强的方法,1、点电荷场的场强及叠加原理,？,2、根据电势的定义,2、是否可,（分立）,（连续）,（分立）,（连续）,55,56,57,例 如图所示长度为 L，均匀带电为 q 的杆，求 P1、P2 点的电势
12、。,解：杆的线电荷密度,取电荷元,则,58,例题7,计算无限大带电平面在空间的电势分布,O,X,取,解:,P,59,60,求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功:,将单位负电荷由,电场力所作的功:,例5 如图已知:,61,静电场中无电荷区域，凡电场线是平行直线的地方， （即电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。（即：电场为均匀电场）,证明2：,62,1. 以任意一条电场线为轴，作圆柱形高斯面。,侧面,a，b 两个底面,在两底面处大小相等；,先证明同一条电场线上各点电场强度的数值处处相等。,63,2. 选取如图所示的矩形闭合路径ABCD。,即垂直于电场线方向上任意两点的电场强度相等。,此积分为零,此积分为零,64,类似的证明：电场线为一系列平行但间距不等的直线的电场不存在。,65,证明： 取回路OABO,而对应点,环路 定理,例 证明图示的静电场不存在。,
