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1、1第三第三讲讲：立体几何中的向量方法：立体几何中的向量方法利用空利用空间间向量求二面角的平面角向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的 综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方 法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避 免了传统立体几何中的技巧性问题，
2、因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何 用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到 提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目教学目标标1使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4.使学生的分析与推理能力和空间想象能
3、力得到提高.教学重点教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学教学难难点点 求解二面角的平面角的向量法. 教学教学过过程程 、复、复习习回回顾顾 一、回一、回顾顾相关公式：相关公式：1、二面角、二面角的平面角：的平面角：（范围：）, 0结论： 或1nl2n21,nn21,coscosnn21,coscosnn1nl2n21,nn21,nn21,nn33 310102统统一一为为： ：2、法向量的方向：、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 3、用空、用空间间向量解决立体几何向量解决立体几何问题问题的的“三步曲三步曲”： ： （
4、1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问 题转化为向量问题；（化化为为向量向量问题问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）、典例分析与、典例分析与练习练习例例 1、 、如图，是一直角梯形，面，ABCD90ABCSAABCD1BCABSA21AD求面与面所成二面角的余弦值.SCDSBA分析分析 分别以所在直线为轴，,BA AD AS, ,x y z建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，SCD1n平面法向量，利用夹角SBA
5、2n12,n n 求平面与平面的夹角余弦值。SCDSBA解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA) 1 , 0 , 0(),0 ,21, 0(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 0(SDCA易知面的法向量为，SBA)0 ,21, 0(1 ADn) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (SDCD设面的法向量为，则有，取，得， SCD),(2zyxn 0202zyyx 1z2, 1yx) 1 ,21, 1 (2n36|,cos2121 21 nnnnnn又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角1n2n即所求二面角的余弦值为.36点点拨拨 求二面角的方法有两种：
6、（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹 角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向 量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。ABCD xzyS2121 21,coscosnnnnnn3练习练习 1： ：正方体的棱长为 1，点、分别为、的中点.求二面角1111DCBAABCD EFCD1DD的余弦值。DAEF解：由题意知，则)0 , 1 ,21(),21, 1 , 0(EF)21, 1 , 0(AF)0 , 1 ,21(,AE设平面的法向量为，则AEF),(zyxn ，取，得 02102100yxzyAEnAFn1
7、y2 zx)2, 1 , 2(n又平面的法向量为AED) 1 , 0 , 0(1AA32 132|,cos11 1 AAnAAnAAn观察图形知，二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为DAEFDAEF32练习练习 2： ：如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形是矩形，BBAA。平面平面ABCDBBAA试问试问： ：当的长度为多少时，二面角的大小为 AA ACAD？60解： 如图建立空间坐标系，则 Axyz( 1,0, )DAa (0,1,0)DC 设面的法向量为 DAC1( , ,1)nx y则 得 1100DA nDC n 1( ,0,1)na易得面的法向量AAC2
8、( 1,1,0)n 向量的夹角为12,n n 60由 得 12 122 121cos,2|12n nan nnna 1a 当时，二面角的大小为 AA ACAD60设计说设计说明：明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或 互补，就没有其他情况AB xD C1Bzy1A 1D1CEF4练习练习 3： ：正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一点111ABCABC1AA当时，求二面角的平面角的余弦值11BCB P11CB PC解：如图建立空间坐标系，设OxyzAPa则的坐标分别为1, ,A C B P(0, 1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0,
9、1, )a, 1(3,1,2)BC 由，得11BCB P110BC B P A即 22(2)0a1a又 11BCBC11BCCB P 面是面的法向量1(3,1,2)BC 1CB P设面的法向量为，由得,11C B P(1, , )ny z11100B P nBCn (1, 3, 2 3)n 设二面角的大小为，则 11CB PC116cos4|BC n BCn A 、小、小结结与收与收获获1、二面角的平面角的正弦值弦值：2、求平面法向量的方法.、 、课课后后练习练习1、如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,PABCD90ABCBCD ,侧面底面.2ABBCPBPCCDPBC ABCD 求二面角的大小.PBDC2、如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均相等,点 D 是 BC 上一 点,ADC1D. 求二面角 CAC1D 的大小. 2121 21,coscosnnnnnn
