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1、第四章 固体的能带理论,一、概述二、固体的能带理论三、导体和绝缘体四、杂质半导体和PN结,2,4.1 概述：近自由电子的状态密度,一. 自由电子的状态密度：,1.自由电子的色散关系，也即Ek关系：,2.自由电子的状态密度(E)和(k)：,3.能量相等的面称为等能面，在空间Ek图中，自由电 子的等能面是一球面。,A、B均为常数,3,近自由电子状态下在布里渊区出现禁带，电子不能在禁带中填充，禁带中电子的状态密度为零。 同一长度的波矢在不同方向上接近布区边界的程度是不同的。（10）方向最先接近，（11）方向最后接近。远离布区时，近自由电子的等能线和自由电子一样，是一组同心圆。 圆形等能面在(10)方
2、向接近布区时，(11)方向仍然远离布区，故(11)方向仍为圆形，而（10）发生变化。 （10）方向等能面接近布区时，自由电子的波矢长度小于近自由电子，状态密度增大，等能线向布区弯曲。 当等能线在(10)方向和布区相切，状态密度最大，同时等能线破裂，分成四段。此后状态密度随E增加而减小。 当等能线在(11)方向与布区相交时，状态密度为零。,二、近自由电子的等能曲线和状态密度：,4,（一）、近自由电子的等能曲线：,二维正方晶格近自由电子的色散关系（a）和等能曲线（b）,5,（二）、近自由电子的状态密度：,近自由电子的状态密度 （a）相邻两能带不交叠 （b）相邻两能带交叠,6,（三）、不同方向近自由
3、电子的色散关系：,（a）能带不重迭，有禁带存在 （b）能代重迭，禁带消失,7,4.2 固体的能带,4.2.1 周期性势场,1.周期性势场,(1)孤立原子(单价),电子所在处的电势为U，电子的电势能为V。电势能是一个旋转对称的势阱。,8,(2)两个原子情形,两个原子的周期性势场,9,一维晶体点阵形成的势能函数曲线,EP,r,+,+,+,+,+,(3) 周期性势场和电子的共有化,r,以钠为例，分析价电子在 Na+ 的电场中的势能特点。,电子能量 E 低，穿过势垒概率小，共有化程度低；,电子能量 E 高，穿过势垒概率大，共有化程度高。,E,+,d,E,10,电子共有化：由于晶体中原子的周期性排列，价
4、电子不再为单个原子所有,而是所有的价电子为所有离子实所共有。, 4.2.2 电子的共有化,共有化的电子可以在不同原子中的相似轨道上转移，因而可以在整个固体中运动。,原子的外层电子(高能级)，穿透势垒概率较大，属于共有化的电子。,原子的内层电子与原子的结合较紧，一般不是共有化电子。,11,4.2.3 能带和能带中电子的分布,由于晶体中各原子间的相互影响，原来各原子中能量相近的能级将分裂成一系列和原能级接近的新能级，这些新能级基本上连成一片，形成能带(Energy band)。,几个基本概念,满带：能带中各能级都被电子填满。,导带：被电子部分填充的能带。通常与价带相邻,价带：价电子能级分裂后形成的
5、能带 。,空带：所有能级均未被电子填充的能带,禁带：在能带之间的能量间隙区，电 子不能填充。,12,电子在晶体中作共有化运动，处在三维周期性势场 中,结论：,13,量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级,变成了N条靠得很近的能级,称为能带。,固体中的电子能级 有什么特点？,14,4.2.4 能带中电子的排布,固体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能级上。,排布原则：,. 服从泡里不相容原理,. 服从能量最小原理,这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳(2l +1)个电子。,孤立原子的一个能级Enl，它最多能容纳2(2l+
6、1)个电子；,15,遵守 泡利不相容原理,最多容纳电子数,2N,2N,2N,6N,6N,10N,能量最小原理,一般情况下，价带是被电子所填充的能量最高的能带。,说明：,16,能带的宽度记作E ，数量级为 EeV。,若N1023, 则能带中两能级的间距约10-23eV。,一般规律：,1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。,2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。,3. 两个能带有可能重叠。,周期性势场中运动的电子波，由遍及整个晶体的布洛赫函数给出，但在处理输运现象时，把电子作为粒子来描述更方便。但需要注意的是，电子在微观运动时需要符合测不准原理，可确定的电子在一范围内，波数不同的电子波迭加可得到局
7、限在一定空间的波，成为波包。作为粒子的电子其运动速度是波包振幅最大的点（即存在几率最大的点）速度，而不是构成整个波包的各个傅里叶成分的波的相速度/k。晶体中的电子在外场中的运动规律是把波包用粒子的观点来讨论的波包运动。,4.2.5 能带中电子运动,18,以k0为中心，波矢在k范围内变化的布洛赫波包，在k比布区的限度2/a小得多（也即波包中心展宽范围xa，a为晶面间距）的条件下，布洛赫电子的运动可以看作以k0中心的波包运动。在这个前提下，晶体电子可用类经典粒子所具有的速度、准动量和能量等经典量进行描述，并可用有效质量m*来概括与晶格有相互作用的电子对外力F的响应，得到电子在外力作用下的加速度a与
8、外力F写成类似牛顿第二定律的形式，即F=m*a,沿某一方向运动的波其群速度为ug=d/dk（角频率，k为波数）,电子运动的速度等于布洛赫波包的群速度，对于物质波，粒子的能量对于自由电子，总能量中只有动能：对于布洛赫电子（晶体中的电子）：电子速度的方向为等能面的法向方向。对于自由电子，电子波包方向与波数方向一致，对于布洛赫电子，因周期性势场作用，等能面并非总是球面，因而波包速度方向与波数并不总相同。,4.2.5.1 电子运动速度(k)与波矢K的关系,21,无论是自由电子，还是布洛赫电子波，其能量具有周期性，且是关于波数的偶函数，电子速度是对能量求导后得到的，因而电子速度为奇函数：在能带低，k很小
9、,晶格散射对电子运动的影响很小，与自由电子类似，随着k的增加，晶格散射增强，当k增大到布区边界时，电子遭受到强布拉格反射，散射波增强到与入射波相同（但传播方向相反），这时电子速度为零。在(k)k曲线的拐点处，电子能量最大。,23,图3-32, 一维能带中电子的速度和有效质量 （a）能带 （b）速度 （c）有效质量,当晶体中的电子受到外力F的作用时，在周期性势场中，还受到晶格势场力Fl的作用，电子的加速是两种力综合作用的结果。对于自由电子，电子的有效质量即为电子的实际质量m，对于布洛赫电子，电子的有效质量m*可描述为：需要注意的是：不同的能带，电子的有效质量不同，在同一能带，有效质量反比于(k)
10、曲线斜率的变化率,4.2.5.2 电子有效质量m*与波矢k的关系,在能带的下半部分，电子运动的速度随波矢而线性增加，电子的有效质量保持为一正的常数，相当于电子在外力作用下加速运动。在拐点， ，有效质量趋于无穷大，相当于外力对晶体电子不产生任何影响。在能带上半部，由于d/dk随k的增加而减小，加速度为负值，在外力方向保持不变的情况下，加速度为负值说明当晶体传递给电子的动量大于外力传递给电子的动量时，电子能够克服外力的影响而作负的加速运动。,26,4.3 导体和绝缘体 4.3.1 概述,它们的导电性能不同，是因为它们的能带结构不同。,一、固体按导电性能的高低可以分为,27,在外电场的作用下，大量共
11、有化电子很容易获得能量，集体定向流动形成电流。,从能级图上来看，是因为其共有化电子很容易从低能级跃迁到高能级上去。,E,导体,28,从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一个较宽的禁带（Eg 约36 eV），共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。,在外电场的作用下，共有化电子很难接受外电场的能量，所以形不成电流。,的能带结构,满带与空带之间也是禁带，但是禁带很窄（E g 约0.12 eV )。,绝缘体,半导体,29,二、绝缘体与半导体的击穿,当外电场非常强时，它们的共有化电子还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的。,绝缘体,半导体,导体,30,满带,空带,导带 未填满的能带及空带
12、（一般与价带相邻）。 满带对电导没有贡献，只有导带才对电导有贡献。,未填满的价带,4.3.2 能带对导电性的影响,不参与导电,参与导电,参与导电,填满的价带,31,在无外电场时，任何能带中波矢为K的两个状态有相同的能量，大小相等且方向相反，尽管每个电子都在运动，但k和-k方向的电子流相互抵消，总电流为零。当有外电场时，满带和不满带情况不同。对于满带，在电场作用下，所有电子都以同样的速度沿电场相反的方向运动，但从布区一边出去的电子，又从另一边同时填进来，电子运动不改变布区内电子的分布状况，因而满带不导电。对于不满带，只有部分状态被电子占据，电场的作用使电子的状态发生变化，由于电子在运动过程中受到
13、晶格振动，杂质，缺陷的散射作用，最终达到一个稳定的不对称分布，沿电场方向与逆电场方向的电子运动数目不等，总电流不等于零，形成电流。,32,33,绝缘体,半导体, 4.3.3 绝缘体 导体 半导体的能带,34,碱金属,碱土金属,铜 金 银,导体（三种情况）,4.3.4 导体的能带,固体物理理论指出：（1）在无外场作用时，无论绝缘体、半导体或导体，都无电流。（2）在外场作用时，不满带导电，而满带不导电。固体中虽然有很多电子，但如果一个固体中的电子恰好充满某一能带及其下面的一系列能带，并且在此之上相隔一个较宽禁带的其他能带都是空的，那么他就是绝缘体。相反，如果电子未能填满最高的能带，或能带之间有重叠
14、，结果就会形成导体。,1.碱金属每个原子都有一个s价电子，众多原子聚合成固体后，s能级将分裂成很宽的s能带，而且是半充满的，因而是导体。 2.碱土金属每个原子有两个s电子，即3s能带是满的，但3s能带与较高的能带有交替的现象，所以是导体。但因重叠区域不同，导电性不同。如钙的重叠部分很小，是不良导体。,37,3.贵金属习惯上把铜、金、银称为贵金属。他们都有一个s态价电子。但与碱金属有一下不同： d壳层是填满的，而碱金属d壳层完全空着。 具有面心立方结构，而碱金属为体心立方。 因d壳层填满，原子似如刚球，不易压缩，而碱金属的离子实很小，易压缩。实际上金属晶体的布里渊区一般都有重叠。除碱土金属外，贵
15、金属和碱金属以及铝等都有这种情况。贵金属的价电子数是奇数，本身的能带也没填满，因而是良导体。,4.过渡金属过渡金属具有未满的d壳层，d电子态形成的d带比较窄。d电子轨道有5个，结晶成固体后形成5个子能带，具有紧束缚电子态特征。而s带很宽，具有准自由电子特征。粗略说，过渡金属的能带是由很窄的d带与较宽的s带交叠在一起形成的，实际上s带与d带不是简单交叠受到杂化的影响，具有导电性，对电导贡献的是4s带的s带电子以及3d带的空穴（因未填满电子而留下的空位）。,4.3.5 绝缘体的能带,1.惰性原子组成的晶体：各能级原子都是满的，结合成晶体时能带也为电子所填满，故为绝缘体。2.离子晶体：由正负离子组成
16、，正负离子的各外层轨道都被电子充满，使晶体中相应的能带也被填满，并且，两个能带本来由能量相差很大的能级分裂而来，禁带宽度较大，是典型的绝缘体。3.共价键晶体：通常形成共用电子对杂化，不同原子能级在形成能带时，如发生重叠，不能根据原子各轨道是否填满来断定晶体的导电性能。需要具体分析。,例，金刚石的能带结构：碳的电子组态是：1s22s22p2,其中2p轨道未能填满。当碳原子结合成金刚石，是典型的绝缘体。其原因是：能带是随原子间距变化的，r大时2p和2s能带都很窄，当r不断减小时，能带变宽，当r=r1时，2p与2s能带交叠成一个。在rr2时又重新分裂成两个能带，中间隔以禁带，此时两个能带并不分别与孤立原子2s、2p能级对应，而是上下两个能带中分别包含2N个状态，能容纳4N个电子。金刚石的4N个价电子恰好填满下面一个能带，上面一个能带完全空着，两能带间禁带很宽，因而是绝缘体。,
