《2016年新课标人教A版选修1-1《2.3数学归纳法》课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2016年新课标人教A版选修1-1《2.3数学归纳法》课件(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 数学归纳法,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁?,我不是四毛!我是小明!,不完全归纳,猜:四毛!,完全归纳,?,1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (重点、难点),探究点 数学归纳法的原理与定义,问题1:口袋中有4个吃的东西,如何证明它们都是糖?,把研究对象一一都考察到,而推出结论的归纳法.,完全归纳法,(1)求出数列前4项,你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正确的吗?,猜想数列的通项公式为:,解:,不完全归纳法,从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法,验证:,逐一验证,不可能!,能否通过有限个
2、步骤的推理,证明n取所有正整数都成立?,数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢?,多米诺骨牌,数学归纳法的第一步:先证明n取第一个值时命题成立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步:假设当n=k时命题成立, 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.,1.第几块骨牌,数列第几项都是与正整数有关的问题.,2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.,多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗?相似性体现在哪些方面呢?,上述2,事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第k块倒下,则相邻的第k+1块也倒下.,你能类比多米诺骨牌游戏
3、牌全倒条件,证明上述问题2猜想的结论吗?,猜想数列的通项公式为,证明:,(1)当,猜想成立.,(2),那么,当,根据(1)和(2),猜想对于任何 都成立.,一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:,1.(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.,2.(归纳递推)假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.,只要完成这两个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,这种证明方法叫做数学归纳法.,若n = k ( k n0) 时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始所有的正整数n
4、都成立.,归纳奠基,归纳递推,数学归纳法:,两个步骤 一个结论 缺一不可,例1 用数学归纳法证明,证明:,(1)当n=1时,,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k( )时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1时等式也成立.,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,即n=k+1时等式成立. 所以等式对一切自然数 均成立.,【总结提升】,问题1:甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下:,证明:假设n=k时等式成立,即,那么,上述证法是正确的吗?为什么?,结论1:第一步是递推的基础,缺少了第一步就失去了保证,不要误认为第一步是一个简单的验证,可有可无.,问题2:乙同学用数学归
5、纳法证明如采用下面证法,对吗?为什么?,结论2:在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.,,,,,解:,可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.,(1)当n=1时,,猜想成立.,(2)假设n=k 时,猜想成立,即,那么,所以,当n=k+1时,猜想也成立.,例3 求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),1
6、.已知三角形内角和为180,四边形的内角和为 360,五边形的内角和为540,于是有:凸n边 形的内角和为(n-2)180,若用数学归纳法证 明,第一步验证n取第一个正整数时命题成立,则 第一个正整数取值为_,3,2.用数学归纳法证明 (a1),在验证n=1等式成立时 ,左边应取的项 是_.,3.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时,在证明n=k+1时:左边代数式 为 , 共有 项,从k到k+1左边需要增乘的代 数式为_.,(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1),k+1,证明: (1)当n=1时,左边= ,(2)假设n=k(kN*)时原等式成
7、立 ,即,右边=,此时,原等式成立.,那么n=k+1时,这就是说,当n=k+1时,命题也成立.,由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.,5.是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,1.数学归纳法的一般步骤:,若n = k ( k n0) 时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.,归纳奠基,归纳递推,两个步骤 一个结论 缺一不可,2.应用数学归纳法要注意以下几点: (1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的. (2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳法. (3)n0是使命题成立的最小正整数,n0不一定取1,也可取其他一些正整数. (4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法.,如果我们有着快乐的思想,我们就会快乐;如果我们有着凄惨的思想,我们就会凄惨.,