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1、主分量分析(PCA),一种处理多维的方法是采用组合特征的方法来降低维数, 其中, 特征的线性组合计算简单且能够进行解析分析。 从本质上来说, 线性变换就是将高维空间的数据投影到低维空间的过程。 主分量分析是一种有效的特征线性变换方法, 也称为K-L变换。 K-L变换是一种基于目标统计特性的最佳正交变换, 它的最佳性体现在变换后产生的新的分量正交或不相关。 ,4.4.1 Karhunen-Loeve变换,K-L变换方法：以样本特征向量在特征空间分布为原始数据，通过实行K-L变换，找到维数较少的组合特征，达到降维的目的。 何谓最佳？几点说明： 原特征空间是n 维的，现希望降至d 维，dn 。 d+
2、1 维以上的成分略去，显然原信号会因此受到一些损失，存在误差。 在给定一个训练样本集条件下要找一个最好的正交变换，将原信号用一组正交变换基 ai 表示，使这种误差从总体上来说是最小。最常用的指标是均方误差最小，或称均方误差的期望值最小。,x=(x1, x2, , xn)T ：n维随机向量 A =(a1, a2, , an), ：标准正交矩阵 y=(y1, y2, , yn)T ：x经正交变换后的向量,若Rx是正定的, 则它的特征值是正的。 此时变换式称为K-L变换。 ,i的正交化、 归一化特征向量, aiTai=1, aiTaj=0(ij; i, j=1, 2, , n),Rx的特征根，且12
3、n,y的相关矩阵，对角矩阵,x的相关矩阵, 对称矩阵,选择x关于ai的展开式的前d项 在最小均方误差准则下估计x,估计的均方误差为,选择相关矩阵Rx的d个最大的特征值对应的特征向量构成变换矩阵A, 得到的均方误差将会最小, 是n-d个极小特征值之和。,上述分析中采用的是样本的相关矩阵, 也可以采用样本的协方差矩阵进行分析。 ,K-L变换的重要应用人脸识别 （1）方法概述 （2）原理详解（包括详细步骤）,K-L变换的重要应用人脸识别 分类器设计： 搜集要识别的人的人脸图像，建立人脸图像库； 利用K-L变换确定人脸基图像； 用这些基图像对人脸图像库中的有人脸图像进行K-L变换，从而得到每幅图像的参
4、数向量，并将每幅图的参数向量存起来，形成人脸分类器。 识别: 对所输入的待识别人脸图像进行必要的规范化； 进行K-L变换分析，得到其参数向量； 将这个参数向量与库中每幅图的参数向量进行比较，找到最相似的参数向量，也就等于找到最相似的人脸，从而认为所输入的人脸图像就是库内该人的一张人脸，完成了识别过程。,K-L变换进行人脸识别的原理,设一幅pq大小的人脸图像, 可以将它看成是一个矩阵(fij)pq, fij为图像在该点的灰度级。 若将该矩阵按列相连构成一个pq维向量，即x=(f11, f21, , fp1, f12, f22, , fp2, , f1q, f2q, , fpq)T它可以被看为 p
5、q 维空间中的一个点。,步骤： 旋转: 人脸方向一致性 剪裁：O(0.5d,d)人脸平移不变性 比例：128128人脸尺度不变性 规一化：统一人脸图像的大小，消除头发和背景的影响。 灰度拉伸：改善图像对比度 直方图修正：统一的均值和方差，部分消除光照强度影响。,第一步：图像的预处理：得到标准图像,由于人脸结构的相似性，当把很多人脸图像规一化后，这些图像在这一超高维空间中不是随机或散乱分布的，而是存在某种规律。因此，可以通过K-L变换用一个低维子空间描述人脸图像，同时又能保存所需要的识别信息。,第二步：利用K-L变换进行人脸识别 设训练样本集为 ,包含N 个人脸图像。,N为训练样本的总数，xi
6、为第i个训练样本图像向量。,（1）计算训练样本集的平均图像向量：,（2）计算协方差矩阵：,（3）求出其特征值i及对应的正交化、归一化特征向量ai ，将特征值按照从大到小进行排序12n 。 （4）取出前 d 个最大特征值及其对应的正交化、归一化特征向量a1, a2, , ad 。分别将这 d 个特征向量化为 p 行 q 列矩阵，得到 d 幅图像，称为“特征脸”。由“特征脸” a1, a2, , ad张成一个降维的特征子空间。,对应前30个最大特征值的特征向量的图像“特征脸”,（5）对于任意待识别样本 f , 通过向“特征脸”子空间投影获得其系数向量 。 任何一幅人脸图像 f 都可以向a1, a2
7、, , ad做投影并获得一组坐标系数，这组系数表明了该图像在子空间中的位置，从而可以作为人脸识别的依据。 换句话说，任何一幅人脸图像都可以表示为这组“特征脸”的线性组合，其加权系数即是K-L变换的展开系数，也可以称为该图像的代数特征。 这样，每一幅人脸图像对应于该子空间中的一个点。同样，这个空间中的任一点也对应于一幅图像。,（6）将待识别人脸的系数向量与已知人脸图像在特征子空间中的投影系数相比较，判断人的身份。,对于任意待识别样本 f , 亦可通过向“特征脸”子空间投影获得其系数向量：,其重现图像为,其重建图像的信噪比为,若小于某一阈值 ，则可判决不是人脸图像。利用这一点，可以做人脸检测。,两点说明：1、如何判决非人脸图像？,我们总共得到了d 个特征向量。虽然d 比pq小很多，但通常情况下d 仍然会太大。而事实上，根据应用的要求，并非所有的ai 都有很大的保留意义。可以选取最大的前K个特征向量，使得在上式中，可以选取a=99%。这说明样本集在前K个轴上的能量占全部能量的99%以上。,两点说明：2、特征向量的选取如何控制？,
