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1、第八章 圆锥曲线方程,轨迹和轨迹方程,第 讲,4,（第一课时）,1. 对于曲线C和方程F(x,y)=0,如果曲线C上的点的坐标都是_,且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在_,则方程F(x,y)0叫做_,曲线C叫做_. 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基本的轨迹图形，其中：(1)在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是_.,方程F(x，y)=0的解,曲线C上,曲线C的方程,方程F(x，y)=0的曲线,连结两定点的线段的中垂线,(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是_. (3)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是_. (4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨
2、迹是圆锥曲线.当常数大于1时，表示_;当常数等于1时，表示_;当常数大于0而小于1时,表示_. (5)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 _.,角平分线,与这条直线平行的两条直线,双曲线,抛物线,椭圆,圆,3. 求动点的轨迹方程的基本方法有： (1)如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为 _. (2)运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程，这种方法称之为 _.,直接法,定义法,(3)动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨
3、迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，这种方法称之为 _. (4)求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法称之为 _.,代入法,参数法,1.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，且满足 则动点P的轨迹方程是( ) A. y2=8x B. y2=-8x C. y2=4x D. y2=-4x 解:设点P(x,y),则
4、 由已知可得 化简得y2=-8x，故选B.,B,2.点P(4，-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中 点的轨迹方程是( ) A. (x-2)2+(y+1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4 C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x+2)2+(y-1)2=1 解:设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为A(x,y), 则 解得 将其代入圆的方程, 得(2x-4)2+(2y+2)2=4，整理得(x-2)2+(y+1)2=1.,A,3.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )解：由题意|AC|=13,
5、|BC|=15,|AB|=14， 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|， 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.,A,故点F的轨迹是以A、B为焦点， 实轴长为2的双曲线的下支. 又c=7，a=1，所以b2=48， 所以点F的轨迹方程为 (y-1).,1.(2010北京卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- ，求动点P的轨迹方程,题型1 直接法求轨迹方程,解：因点B与点A(-1,1)关于原点O对称，得点B的坐标为(1，-1) 设点P的坐标为(x，y)，则kAP= ，kBP=， 由题意得 =- ， 化简得：
6、+ =1(x1) 即动点P的轨迹方程为 + =1(x1),点评：本题的轨迹方程是用直接法求得动点所满足的条件已给出，只要设出动点坐标，代入条件即可列出方程，然后化简即可,如图，圆O1和 圆O2的半径都等于1,O1O2=4， 过动点P分别作圆O1、圆O2 的切线PM、PN(M、N为切 点),使得PM= PN,试建立 适当的坐标系，求动点P的轨迹方程. 解：以线段O1O2的中点O为原点， O1O2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则点O1(-2，0)，O2(2，0)，设点P(x，y).,由已知|PM|2=2|PN|2， 所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 又(x+2)2+y2-1=
7、2(x-2)2+y2-1， 化简得x2+y2-12x+3=0. 故点P的轨迹方程是x2+y2-12x+3=0.,2. 已知圆A:(x+2)2+y2=1 与点A(-2，0)，B(2，0)，分 别求出满足下列条件的动点 P的轨迹方程. (1)PAB的周长为10； (2)圆P过点B(2，0)且与 圆A外切(P为动圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切 (P为动圆圆心).,题型2 定义法求轨迹方程,解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， 即PA+|PB|=64=|AB|. 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， 即a=3，c=2，b=5. 因此其方程为 (y0).
8、(2)设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r， 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知， P点的轨迹为双曲线的右支，,且2a=1，2c=4，即 因此其方程为 (3)依题意，知动点P到定点A的距离等于它到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4. 因此其方程为y2=-8x. 点评：根据给定的条件转换得出所求轨迹是符合某种定义的圆锥曲线，然后按此圆锥曲线的方程形式求得其对应的系数即可得出所求轨迹方程，这就是定义法求轨迹方程.,设点P为直线l:x=- 上一动点,F(- ,0)为 定点，连结PF并延长到点M， 使|PM|=|PF|FM|,求点M的 轨迹方程. 解：设
9、直线l交x轴于A点， 作MBl，垂足为B， 则PAFPBM， 所以 因为|PM|=|PF|FM|，,所以 即 所以点M的轨迹是以点F为左焦点， l为左准线的椭圆位于直线 x=- 右侧的部分. 由 可得a=4，b=2，c= . 因为|OF|= =c，所以O为椭圆的中心. 故点M的轨迹方程是,1. 直接法求轨迹方程的一般步骤是： (1)建系建立适当的坐标系. (2)设点设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式列出动点P所满足的关系式. (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.,2. 求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条件,从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在,则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及曲线不满足完备性.求解轨迹方程时要避免方程不满足纯粹性和完备性的错误. 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时，要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性.,
