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1、习题四答案习题四答案 (A)1 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) (2) 3113 122212221(3) (4) 020212022 201034011(5) (6) 011102124533242111解 （1）矩阵的特征多项式为A， AE)4)(2(3113所以的特征值为A4, 221对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解21XAE)2(O系为，所以的属于特征值 2 的全部特征向量为 () 1, 1 (1TA) 1, 1 (111kkT为任意常数)01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解42XAE)4(O系为，所以的属于特征值 4 的全部特征向量为) 1, 1
2、(2TA) 1, 1 (222 kk(为任意常数)T02k（2）矩阵的特征多项式为A， AE)3)(1)(1(122212221 所以的特征值为，A111233对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础11XAE)(O解系为，所以的属于特征值-1 的全部特征向量为)0, 1, 1 (1TA(为任意常数)0, 1, 1 (111 kkT01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解12XAE)(O系为，所以的属于特征值 1 的全部特征向量为) 1, 1, 1 (2TA(为任意常数) 1, 1, 1 (222 kkT02k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解33XAE)3(O系为
3、，所以的属于特征值 3 的全部特征向量为) 1, 1, 0(3TA(为任意常数) 1, 1, 0(333 kkT03k(3) 矩阵的特征多项式为A， AE)4)(1)(2( 20212022 所以的特征值为，A114223对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解系11XAE)(O为，所以的属于特征值 1 的全部特征向量为)2, 1, 2(1TA(为任意常数)2, 1, 2(111 kkT01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解42XAE)4(O系为，所以的属于特征值 4 的全部特征向量为) 1, 2, 2(2TA(为任意常数) 1, 2, 2(222 kkT02k对于，解对应
4、齐次线性方程组，可得它的一个基23XAE)2(O础解系为，所以的属于特征值-2 的全部特征向量为)2, 2, 1 (3TA(为任意常数)2, 2, 1 (333kkT03k(4)矩阵的特征多项式为A， AE) 3() 1( 212123242所以的特征值为（二重） ，A12, 123对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解12, 1XAE)(O系为，所以的属于特征值 1 的全部特征向量为) 1, 2, 1 (1TA(为任意常数) 1, 2, 1 (111 kkT01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解23XAE)2(O系为，所以的属于特征值 2 的全部特征向量为) 1, 0,
5、 0(2TA(为任意常数) 1, 0, 0(222kkT02k(5)矩阵的特征多项式为A， AE2)2(11132124所以的特征值为，（二重） A0123 , 2对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解01XAE)0(O系为，所以的属于特征值 0 的全部特征向量为)2, 1, 1 (1TA(为任意常数)2, 1, 1 (111 kkT01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础23 , 2XAE)2(O解系为，所以的属于特征值 2 的全部特征向量为)0, 1, 1 (2TA22k(为任意常数)0, 1, 1 (2 kT02k(6)矩阵的特征多项式为A， AE) 3() 1( 21
6、2123242所以的特征值为，（二重） A6123 , 2对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础解61XAE)6(O系为，所以的属于特征值 6 的全部特征向量为) 3, 2, 1 (1TA(为任意常数) 3, 2, 1 (111 kkT01k对于，解对应齐次线性方程组，可得它的一个基础23 , 2XAE)2(O解系为，所以的属于特征值 2 的全部特征向)0, 1, 1 (2T) 1, 0, 1 (3TA量为 (为不全为零的任意常数)3322kk)0, 1, 1 (2 kT) 1, 0, 1 (3kT 32,kk2 设为阶矩阵，An(1) 若，且存在正整数，使得(称为幂零矩阵)，证明:的O
7、A kOAkAA特征值全为零；(2) 若满足(称为幂等矩阵)，证明:的特征值只能是 0 或 1；AAA 2AA(3) 若满足(称为周期矩阵)，证明: 的特征值只能是 1 或AEA 2AA1 证明：设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，即.AA（1）因，而故.又因，故，得kkA,OAkOkO0k. 0（2）因，而故，即22A,2AA 22AA又因，故，得或 1)(2OO020（3）同（2）可得，即又因，22AA.) 1(2OO故，得或.012113 设分别为阶矩阵的属于不同特征值和的特征向量，证明:21,nA12不是的特征向量21A证明：反证法.若是的特征向量，相应的特征值为，则有21A，)()(
8、2121A即.又因分别为矩阵的属于特征值和的2121 AA21,A12特征向量，即，则111A222A，即.2121O2211)()(因是矩阵的属于不同特征值的特征向量,故线性无关，于是可得21,A21,，即，矛盾.0, 021214 证明定理 4.4.若是阶矩阵的特征值，则nA(1)设，则是的特征值，其中m mxaxaaxf10)()(f)(Af；m mAaAaEaAf10)()(Nm(2)若可逆，则，且是的特征值，是的伴随矩阵的A011A| AA*A特征值证明：设矩阵属于特征值的特征向量为，即.AA （1）因)()()(101010 faaaaaaAaAaaAfm mm mm m 故是的特
9、征值.)(f)(Af（2）因可逆，故.而为的特征值之积，故的特征值.用A0|A| AAA0左乘两端得1AA.111AAAA因，故，即是的特征值.011A11A因，故是的伴随矩阵的特征值1*|AAA| AA*A5 证明:矩阵可逆的充分必要条件是的特征值全不等于零AA证明：因矩阵可逆，故.由是的全部特A0|AnnA,(|11A征值）得，故.01n), 1(0nii6 已知三阶矩阵的特征值为 1，2，3，求的特征A*12,3AAEAA值 解：由矩阵的特征值的性质得的特征值为，；AA3241312102322183332的特征值为；1 AE34 311,23 211, 2111因的特征值为.6321|
10、A*A236, 326, 6167 是三阶矩阵，已知，求A0|3| , 0|2| , 0|AEAEAE|4|AE 解：因，故三阶, 0|) 1(|3AEAE0|3| , 0|2|AEAE矩阵的全部特征值为1，2，3.因此的特征值为AAE 4于是., 734 , 624 , 3) 1(4126763|4| AE8 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，) 1 , 1 ( kT 211121112 A1A求常数的值k解：因是的特征向量，故也是的特征向量.设对应的特征值为，于1AA是由可得A， 2112112kkkk解得或.2k1k 9 证明:如果矩阵可逆，则ABAAB 证明：因，且可逆，则BABAAA
11、AABA)()(11ABAAB 10 如果，证明：存在可逆矩阵，使得BA PBPAP 证明：因，故存在可逆矩阵，使得.将上式两端右乘，BA PAPPB1得，即.PPAPPAPPBP)(11BPAP 11 如果，证明:BA DC DOOBCOOA证明：因，故存在可逆矩阵，使得BA DC QP,.CQQDAPPB11,于是有. DOOB QOOP COOAQOOP QOOP COOA QOOP111而可逆，故. QOOP DOOBCOOA12 已知为二阶矩阵，且，证明:存在可逆矩阵，使得A0|AP为对角矩阵APP1证明：为二阶矩阵，且，故必有两个不等特征值，因此必存在可A0|AA逆矩阵，使得为对角
12、矩阵PAPP113 已知矩阵与矩阵相似，求 xA 14020112 21 yB(1) 常数和的值；xy(2) 可逆矩阵，使得PBAPP1解：（1）因，故有相同的特征值.而的特征值为，故BA BA与B2 , 1 y1，2 也是的特征值.而A. AE42)2()2( 140201122 xx x 将代入上式中得.于是可得，故有13x) 1()2(2AE的特征值为，因此.A2 , 2 , 12y（2）由（1）知的特征值为，（二重） A1123 , 2对应的无关特征向量为，对应的无关特征向11) 1, 0, 1 (1T23 , 2量为，令)0, 4, 1 (2T)4, 0, 1 (3T， 401040111 P则可逆，且.PBAPP114 设三阶矩阵的特征值为 1， 2， 3， 对应的特征向量分别为A) 1, 1, 1 (，求(1)；(2)T) 1, 0, 1 (T) 1, 1, 0(TAnA解：（1）令，则.而 111101011 P 3211APP 1011101111P则. 4122121113211PPA（2）因，所以，故 3211APP1PPA
