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1、3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.4 多维随机变量的特征数 3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量定义3.1.1若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y, 称,注意：,F(x, y)为(X,
2、Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.,X1,X2,x1,x2,(x1, x2),联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.,(2) 0 F(x, y) 1，且,F(, y) = F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.,(4) 当ab, cd 时，有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意：上式左边 = P(aXb, cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,3.1.3 联合分布列,若(X, Y) 的可能取值为有限
3、对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布列,称,pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, .,为(X,Y) 的联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1 x2 xi ,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j ,联合分布列的基本性质,(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1.,(非负性),(正则性),确定联合分布列的方法,(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对.,(2) 计算取每个数值对的概率.,(3) 列出表格.,例3.1.1 将一枚均匀的硬
4、币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0, Y=4)=,P(X=2, Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3, Y=1)=,=1/4,P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16,P(X=1, Y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:,其对应的概率分别为：,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,列表为：,0 0 0 0 1/160 0 0 1/4 00 0 6/16 0 00 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,例3.1.2 设随
5、机变量 Y N(0, 1),解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|2),= 2 2(2) = 0.0455,P(X1=0, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2),= P(1|Y|2),= 2(2) (1),= 0.2719,P(X1=1, X2=0) = P(|Y|1, |Y|2) = 0,P(X1=1, X2=1) = P(|Y|1, |Y|2),= P(|Y|1),= 0.6826,求,的联合分布列.,列表为：,X101,X2 0 1,0.0455 0.27190 0.6826,课堂练习,设
6、随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。,称p(x, y) 为联合密度函数。,联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),注意：,(正则性),一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果：A1, A2, , Ar,记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r,记
7、Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类 。,第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D的面积.,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从
8、二维正态分布，,记为 (X, Y) N ( ) .,例3.1.3,若 (X, Y) ,试求常数 A.,解:,所以, A=6,=A/6,例3.1.4,若 (X, Y) ,试求 P X 2, Y 1.,解: P X2, Y1,2,1,x2, y1,例3.1.5,若 (X, Y) ,试求 P(X, Y)D, 其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解:,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,3.2.1 边际分布函数,巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，,则,Y FY (y) = F(+ ,
9、y).,X FX (x) = F(x, +),3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,X,Y,3.2.3 边际密度函数,巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，,则,X 的密度函数为 ：,Y 的密度函数为 ：,由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点 (1),二维正态分布的边际分布是一维正态：若 (X, Y) N ( )，,注 意 点 (2),则 X N ( )，,Y N ( ).,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例3.2.1 设
10、(X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,例3.2.2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,若满足以下之一:i) F(x, y) = FX(x)FY(y)ii) pij = pipjiii) p(x, y) = pX(x)pY(y)则称 X 与Y 是独立的，,3.2.4 随机变量间的独立性,(1) X 与Y是独立的其本质是：,注 意 点,任对实数a, b, c, d，有,(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例
11、3.2.3,(X, Y) 的联合分布列为:,问 X与Y 是否独立？,解: 边际分布列分别为:,X 0 1 P 0.7 0.3,Y 0 1 P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例3.2.4,已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,所以X 与Y 独立。,注意：p(x, y) 可分离变量.,解: 边际分布密度分别为:,注 意 点 (1),(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子,(3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立
12、.,注 意 点 (2),(4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即p(x, y) = g(x)h(y)则 X与Y 独立。(习题3.2 16题),(5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( )则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,(1) 设(X1, X2, , Xn) 是n维离散随机变量，则 Z = g(X1, , Xn) 是一维离散随机变量.,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的：,i) 对(X1, X2, , X
13、n)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.,3.3.2 最大值与最小值分布,例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.,解:,X 0 1 P 1/2 1/2,Y 0 1 P 1/2 1/2,Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1,P(Z=0) = P(X=0, Y=0),= P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),= 3/4,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x).,一般情况,若记,Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn),则,Y 的分布函数为:,FY (y) = FX(y)n,Y 的密度函数为:,pY(y) = nFX(y)n1 pX(y),Z 的分布函数为:,FZ(z) = 11 FX(z)n,Z 的密度函数为:,pZ(z) = n1 FX(z)n1 pX(z),3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立，则 Z=X+ Y 的密度函数为,
