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1、三角形,一.三角形中的线或边,三角形的三个基本要素：,如上图顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c,若ABC的三边为a，b，c，则化简 |a+b-c| |b-a-c| 的结果是（ ）. (A) 2a-2b (B) 2a+2b+2c (C) 2b-2c (D) 2a-2c,三角形三边满足的关系：,三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之和大于第三边,1.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 。,有同学说：“一个角的平分线就是三角形的角平分线. ”这种说法对吗？为什么？,说说：三角形的
2、高、中线与角平分线有什么共同的特征？,（1）都是线段；,（2）所有的高相交于一点叫：垂心所有的中线相交于一点叫：重心所有的角平分线相交于一点叫：内心,如图,在ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,说明ABE的面积与AEC的面积有和关系？,拓展,同高等底的两个三角形的面积相等。,三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。,你有什么发现？,相等,怎么写过程,三角形中-【操作】型 如图：将一副三角板叠在一起，使直角 的顶点重合于点O，求AOCDOB的 度数是多少？,等腰三角形,有两条边相等的三角形叫等腰三角形。,底边,ASDF S,ASDF S,1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形顶
3、角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3.等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。,等腰三角形的性质,4. 根据等腰三角形性质定理的推论,在ABC中， AB=AC时，, AB=AC ADBC，_ = _，_= _. ( 三线合一 ),(2) AB=AC AD是中线， _ ，_ =_.( ),(3) AB=AC AD是角平分线， _ _ ，_ =_. ( ),BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,没有垂直这个条件，行不行？,A.有两边相等的三角形是等腰三角形 B.有两个角相等的三角形是
4、等腰三角形 （简称：等角对等边）,等腰三角形的判定方法（2个）：,等边三角形的判定方法：,A.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 B.有两个角是60的三角形是等边三角形。 C.三边相等的三角形是等边三角形,有没有拿三线合一来证明等腰三角形？,2010年区期末试题： 已知：D是ABC的BC边的中点，DEAB, DFAC,垂足分别是E，F，且DE=DF. 求证：ABC是等腰三角形。,学生最容易犯的错误： 用三线合一去证明它 是等腰三角形，是不 对的,等腰三角形中的多解问题：,1.对于等腰三角形的周长：要善于利用三边的关系？ 例题：一个等腰三角形的两边是2，3 求它的周长。若是1,2呢？周长又
5、是多少？ 2.对于等腰三角形的作高问题：要考虑等腰三角形的类型,重点专题,1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30 ，则等腰三角形的顶角的度数为 。,2.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在 的直线相交所得的锐角为40，则B= 。,-多解问题！,主要考虑：三角形有锐角和钝角三角形之分,勾股定理（直角三角形）,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（它的逆定理你是怎样表达的？）,勾,股,弦,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直 角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形 A，B的面积之和为_cm2
6、 ，正方形C,D,E,F 的面积之和为_cm2 你还可以写出什么面积 之和等于49吗？,在一个三角形中，其中两条边(两条最小 的边）的平方和等于第三边（最大的边） 的平方，则这个三角形是直角三角形。,勾股定理的逆定理,例4 有一块四边形地D，B， m， m， CDm， DAm， 求该四边形地D的面积 。,例题学习,若直角三角形的两边长分别为3、 4、 x，试求出x的所有可能值。,易错题,如图，在RtABC中，直角边AC=5，BC=12，求ABC斜边上的高CD的长。,典型例题：,学会根据面积相等求解问题？ 公式：两直角边之积=斜边与斜边上的高之积,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边
7、为边长的正方形.,有不同的拼法吗？,实验操作：验证勾股定理,拼图展示,图 1,图 2, a+b =c,验证方法一,图 1,你还能用图2进行验证吗？,方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.,验证方法二,c,a,b a, a+b =c,图 2,b,美国总统证法：,最短距离问题（化曲面为平面，利用“两点之间，线段最短。”,一个无盖的长方体形的盒子的长、宽、高分别为8cm、 8cm 、 12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的、B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？,如果有盖或靠墙又如何解决？,三角形全等问题,
8、一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变 即：平移、翻折、旋转前后的图形全等,其中：“”表示形状相似，“ = ”表示大小相等,把两个全等的三角形重合在一起，,重合的点叫做对应顶点，,重合的边叫对应边，重合的角叫对应角,对应规律：最大的角相对应，最长的边相对应， 反之亦然,全等三角形的性质：,全等三角形对应边相等,全等三角形对应角相等,2.如图：OADOBC,且O=650， C=200,求OAD的度数？ （你还能得出哪些结论）,判定两个三角形全等的方法,1、SSS：三边对应相等,2、SAS 两边及夹角对应相等,3、ASA两角夹边对应相等,4、AAS 两角及一角的对边对应相
9、等,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等(可简写成斜边、直角边或) 这个判定定理“很多学生误认为是两条 直角边。记住：是斜边和一条直角边,直角三角形全等的特殊证法：HL,如图，已知ABCD，ACBD，AC与 BD交于点O求证：AD， （你还能得出什么结论？若图形是右边 的图形又该怎样证明AD）,2、请在下列空格中填上适当的条件，使ABCDEF。,在ABC和DEF中,ABC DEF（ ）,SSS,AB=DE,BC=EF,AC=DF,ASA,A=D,AB=DE,B=DEF,AC=DF,ACB=F,AAS,B=DEF,BC=EF,ACB=F,BC=EF,例 如图，ABC， DD ， = ，
10、求证B=AD,A,B,C, 如图，A， ， ，= ，求证AE=DF,F,因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够长的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。,利用全等解决实际问题,小强的设计方案：先在池 塘旁取一个能直接到达A和B处 的点C，连结AC并延长至D点， 使AC=DC，连结BC并延长至E 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A，B两点的距离。请你说 明理由。,D,2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳， 问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足 下列的哪个条
11、件？（ ）A、AO=CO B、BO=DOC、AC=BD D、AO=CO且BO=DO,反证法的三步骤 (1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 推出一个结论（而这个结论与已知条件或公理、定理矛盾；）(3)肯定原命题的结论是正确的。简记三步曲：否定结论推出矛盾肯定结论，其中推出矛盾是关键。,1.用反证法证明命题：“三角形中至多有一个 内角小于或等于60”，第一步应先假设：。,2.在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60 ，第一步应先假设：。,三角形中三个角都小于60,三角形中三个角都大于60,感受反证法,例、求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,这与已知条件ABAC相矛盾。,求证：B C,已知：在ABC中，ABAC。,证明：假设B = C, AB=AC,所以B C,如图直线c与直线a,b都相交，12. 求证：a与b不平行,1,2,a,c,b,证明：假设：ab 1=2 这与12矛盾。 a与b 不平行。,例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.,已知：在ABC中，AB=AC. 求证：B、C为锐角.,证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：,(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角； 所以：第一步假设：B90，C90,
