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1、本科生必修课：概率论与数理统计,第八章 假设检验,主讲教师：董庆宽 副教授 研究方向：密码学与信息安全 电子邮件： 个人主页：http:/ 假设检验,8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.6 分布拟合检验,3/101,8.1 假设检验,参数估计：其目的对未知参量给出估计值及置信区间，一般情况下，参数估计是在总体形式已知的情况下，对未知参量的定量的估计问题 假设检验：其目的是对总体的某未知性质根据样本给出一个定性判断，这时总体的分布的函数形式未知，或只知其形式，但参数未知的情况 假设检验中，为推断总体的某些性质，首先提出某些关于总体的假设，然后根据
2、样本对所提出的假设作出判断，是接受，还是拒绝例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断提出正态总体期望为0的假设，然后进行判断,4/101,8.1 假设检验,假设检验的基本思想和做法 通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法 基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概率原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的” 假设检验的过程是要构造一个小概率事件，如果根据实际样本数据的计算，该小概率事件发生了，则拒绝原假设，否则接受原假设 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.,5/101,8.1 假设检验,实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从
3、正态分布. 当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?,分析:,6/101,由长期实践可知, 标准差较稳定,问题: 根据样本值判断,1 提出两个对立假设,2 结合合理法则，再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1), 还是拒绝假设H0(接受假设H1).,如果作出的判断是接受H0,即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.,8.1 假设检验,7/101
4、,由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来判断.,于是可以选定一个适当的正数k,8.1 假设检验,这里的检验统计量和分布均不含任何未知参数,检验方法(即合理的法则)：对于未知参数，仍然从其点估计量开始讨论，将未知参数与其点估计量进行比较,若过分大，则有理由怀疑H0的正确性,8/101,8.1 假设检验,如何选取k呢，先看以下事实：由于作出决策的依据是一个样本，当实际上H0为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种可能性是无法消除的，这是一种错误。,此即假定H0正确时的小概率事件,9/101,8.1 假设检验,因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数(00，则
5、称为右边检验问题 类似的有时需要检验假设，H0：0，H1：0， 因H0中的都比H1中的要小，当H1为真时观察值往往偏大，因此拒绝域的形式为k，k是某一正常数,20/101,8.1 假设检验,确定k，与例1中的做法类似,PH0为真时拒绝H0=,拒绝H0,不等号成立是因为0,注意：这里 的均值为而不是0，所以放缩成后才能用正态分布。,要控制PH0为真时拒绝H0,只需令,21/101,8.1 假设检验,类似的有左边检验问题的拒绝域,22/101,8.1 假设检验,处理参数的假设检验问题的步骤如下：1. 根据实际问题的要求提出原假设H0和备择假设H1；2. 给定显著性水平，以及样本容量n3. 确定检验
6、统计量以及拒绝域的形式 其分布应与任何未知数无关，且统计量里不含其它未知参数 统计量的构造一般的从点估计量开始考虑 4. 按PH0为真时拒绝H0求出拒绝域5. 取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝H0,23/101,例2：某工厂生产固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(, 2)，40cm/s，2cm/s,现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取n25只，测得燃烧率的样本均值为 41.25cm/s，设新方法下总体均方差没变，问这批推进器的燃烧率较以往是否有显著的提高，取显著性水平0.05 解：1提出原假设H0和备择假设H1；H0：040，即假设新方法没有提高燃烧率H1：0，即假设新方
7、法提高了燃烧率2给定显著性水平0.05以及样本容量n25,8.1 假设检验,24/101,8.1 假设检验,3确定检验统计量以及拒绝域的形式,由例1，统计量为 N(0，1)，拒绝域的形式为,4按PH0为真时拒绝H0求出拒绝域,5取样，根据样本观察值作出决策，是接受H0还是拒绝H0,z落在拒绝域中，在显著性水平下拒绝H0，因此新方法有显著提高,25/101,8.2 正态总体均值的假设检验,假设检验是针对弃真这一可能犯的错误人为设定一个界限，如果在这个界限内，认为原假设成立，否则的话，由于显著性水平取得很小，表明小概率事件发生，根据实际推断原理，原假设不成立。 尽管也可能犯第II类取伪的错误，这时
8、尽管总体的性质发生了改变但没有发现，往往影响较小。 正态总体均值的检验分为三种情况 单个正态总体 两个正态总体 成对数据,26/101,8.2 正态总体均值的假设检验,(一)单个总体N(, 2)均值 的检验 12已知，关于 的检验(Z检验) 提出的假设，双边：H0：0，H1：0，单边：H0：0， H1：0，H0：0， H1：0，都是利用检验统计量Z= 确定拒绝域的，当H0为真时服从N(0,1)这种检验法常称为Z检验法,27/101,例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:,假定切割的长
9、度X服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?,解,8.2 正态总体均值的假设检验,28/101,查表得,8.2 正态总体均值的假设检验,29/101,8.2 正态总体均值的假设检验,30/101,根据第六章3定理三知,由t分布上分位点的定义知,在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.,上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.,8.2 正态总体均值的假设检验,31/101,如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?,解,查表得,例2,8.2 正态总体均值的假设检验,32/
10、101,8.2 正态总体均值的假设检验,1.已知方差时两正态总体均值的检验,需要检验假设:,上述假设可等价的变为,利用z检验法检验.,(二) 两个正态总体均值差的检验(t检验),33/101,8.2 正态总体均值的假设检验,34/101,故拒绝域为,由标准正态分布分位数的定义知,8.2 正态总体均值的假设检验,35/101,8.2 正态总体均值的假设检验,36/101,8.2 正态总体均值的假设检验,37/101,2.未知方差时两正态总体均值的检验,利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.,8.2 正态总体均值的假设检验,38/101,根据第六章3定理四的推论2知,8.2 正态总
11、体均值的假设检验,39/101,对给定的,故拒绝域为,8.2 正态总体均值的假设检验,40/101,解,8.2 正态总体均值的假设检验,41/101,即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.,8.2 正态总体均值的假设检验,42/101,(三)基于配对数据的检验（t检验）,有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。,例3 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各取一个组成一对。再随机选择8架飞机，将8对轮胎随机地搭配给8架飞机，做耐磨性实验,飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：mg）数据如下：,
