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1、1新课标全国卷历年高考立体几何真题(含答案)新课标全国卷历年高考立体几何真题(含答案)班别:班别: _ 姓名:姓名:_题号1234567891011总分得分1.(2011 年全国卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB=60, AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明:PABD; ()若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.2.(2012 年全国卷)如图,直三棱柱111ABCABC中,11 2ACBCAA ,D是棱1AA的中点,BDDC 1.()证明:BCDC 1;()求二面角11CBDA的大小.23.(2013 年全国卷)如图,直棱柱 ABC-A1
2、B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.2 2()证明:BC1/平面 A1CD, ()求二面角 D-A1C-E 的正弦值4.(2013 年全国卷)如图,三棱柱中,.111CBAABC CBCA 1AAAB 601BAA()证明;CAAB1()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.35.(2014 年全国卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点.()证明:PB平面 AEC;()设二面角 D-AE-C 为 60,AP=1,AD=3,求三棱锥 E
3、-ACD 的体积.6.(2014 年全国卷)如图三棱柱中,侧面为菱形,.111ABCABC11BBC C1ABBC() 证明:;1ACAB()若,AB=BC,求二面角的余弦值.1ACABo 160CBB111AABC47.(2015 年全国卷)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分 别在 A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形.()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);()求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.8.(2015 年全国卷)如图,四边形 ABCD 为菱形,
4、ABC=120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的 两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC.()证明:平面 AEC平面 AFC;()求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.59.(2016 年全国卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,5,6ABAC,点,E F分别在,AD CD上,5 4AECF,EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置,10OD ()证明:D H平面ABCD; ()求二面角BD AC的正弦值10.(2016 年全国卷)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,且二面角 DAF
5、E 与二面角 CBEF 都是90AFD-60(I)证明:平面 ABEF平面 EFDC;(II)求二面角 EBCA 的余弦值-611.(2016 年全国 3 卷)如图,四棱锥PABC中,PA 底面面ABCD,ADBC 3ABADAC,4PABC,M为线段AD上一点,2AMMD,N为PC的中 点 (I)证明MNA平面PAB;(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.自我总结:7新课标全国卷历年高考例题几何真题(广西多用新课标全国卷历年高考例题几何真题(广西多用 2 卷)卷)1.解:()因为60 ,2DABABAD, 由余弦定理得3BDAD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD;又 P
6、D 底面 ABCD,可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PABD ()如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为x轴的正半轴 射线 DB 为 y 轴的正半轴,射线 DP 为 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则1,0,0A,03,0B,,1, 3,0C ,0,0,1P.( 1, 3,0),(0, 3, 1),( 1,0,0)ABPBBC uu u vuuvuu u v 设平面 PAB 的法向量为=(x,y,z) ,则,即 3030xyyz 因此可取=( 3,1, 3)n00 n ABn PB n设平面 PBC 的法向量为,则可取=(0,-1,3) ,
7、 m00 m PBm BCm故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 7 7 .42 7cos.72 7 m,n2.证明() (1)在Rt DAC中,ADAC得:45ADC,同理:1114590ADCCDC ,得:111,DCDC DCBDDC又111,DCDC DCBDDC平面1BCDDCBC.() (2)11,DCBC CCBCBC平面11ACC ABCAC取11AB的中点O,过点O作OHBD于点H,连接11,C O C H, 1111111ACBCC OAB,C1OA1D 1C O面1ABD1OHBDC HBD得:点H与点D重合 , 即1C DO是二面角11CBDA的平面角设ACa,则12
8、 2aC O ,1112230C DaC OC DO 8即二面角11CBDA的大小为30.3.(1)连接,交于点 F,连结,则 F 为的中点,因为 D 为 AB 的中点,所1AC1AC1,DF BC1AC以 DF/,又因为,所以.1BC111FDACDBCAC D平面,平面11/ /BCACD平面(2)由 AA,可设:AB2a,则12 2ACCBAB所以,又因为 ABC-A1B1C1为直三棱柱,12 ,AAACCBaACBC所以以点 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图.则 C(0,0,0) 、1222 ,0,2,022AaaDaa 、,20,2 ,2Eaa 1222 ,0,2,022CAa
9、aCDaa 20, 2 ,.2CEaa 设平面的法向量为则且可解得令得平1ACD, ,nx y z0n CD 10,n CA ,yxz 1,x 面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则1ACD1, 1, 1n 1ACE2,1, 2m ,所以所以二面角的正弦值为3cos,3n m 6sin,3n m 1DACE6.34.【解析】 ()取的中点,连结,.因为ABOOC1OABA1,所以.由于,故CBCA ABOC 1AAAB 601BAA为等边三角形,所以.因为,所BAA1ABOA 1OOAOC1以面.又平面,故.ABCOA1CA1COA1CAAB1()由()知,又平面平ABOC ABOA
10、 1ABC面,交线为,所以平面,故,11BBAAABOC11BBAAOA,两两互相垂直.以为坐标原点,的方向为轴的正方向,为单位长度,建立OC1OAOOAx|OA如图所示的空间直角坐标系,则有,,.则xyzO )0 , 0 , 1 (A)0 , 3, 0(1A)3, 0 , 0(C)0 , 0 , 1(B, , .设平面的法向量为)3, 0 , 1 (BC)0 , 3, 1(1 AABB)3, 3, 0( ACCCBB11,则有,即,可取.故),(zyxn 001BBnBCn0303yxzx) 1, 1 , 3(n9,510|,cos11 1 CAnCAnCAn所以直线与平面所成角的正弦值为.
11、CA1CCBB115105.【解析】(1) 连接 BD 交 AC 于点为 G,连接 EG.在三角形 PBD 中,中位线 EGPB, 且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB平面 AEC. (2)设 CD=m,分别以 AD,AB,AP 为 x,y,z 轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(3,0,0),E31,0,22 ,C(3,m,0).所以AD =(3,0,0),AE =31,0,22 ,AC =3,0m.设平面 ADE 的法向量为1n =(x1,y1,z1),则1nAD =0, 1nAE =0,解得一个1n =(0,1,0).同理设平面 ACE 的法向量为2n =(x2,y2,z2),则2
12、nAC =0, 2nAE =0,解得一个2n =(m,- 3,-3m).因为 cos3=|cos|=1212nnn n =22333mm =1 2,解得 m=3 2.设 F 为 AD 的中点,则 PAEF,且 PA=2EF=1 2,EF面 ACD,即为三棱锥 E-ACD 的高.所以 VE-ACD= SACDEF=1 31 23 231 2=3 8.所以,三棱锥 E-ACD 的体积为3 8.6解:(1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO,侧面 BB1C1C 为菱形,BC1B1C,且 O 为 BC1和 B1C 的中点,又ABB1C,B1C平面 ABO,AO平面 ABO,B1CAO,又
13、B1O=CO,AC=AB1,(2)ACAB1,且 O 为 B1C 的中点,AO=CO,又AB=BC,BOABOC,OAOB,OA,OB,OB1两两垂直,以 O 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,|为单位长度,的方向为y 轴的正方向,的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,CBB1=60,CBB1为正三角形,又 AB=BC,A(0,0,) ,B(1,0,0, ) ,B1(0,0) ,C(0,0)=(0,) ,=(1,0,) ,=(1,0) ,10设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1的法向量,则,可取=(1,) ,同理可得平面 A1B1C1的一个法向量 =(1,) ,cos , =
14、,二面角 AA1B1C1的余弦值为7.【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图: (2)作 EMAB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=6,所以 AH=10.以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则,. 00HEnFEn 086010 zyx所以可取,又,故.) 3 , 4 , 0(n)8 , 4 ,10(AF1554|,cos|AFnAFnAFn所以与平面所成的角的正弦值.AFEHGF15548.【解析】(1)连结 BD,设 BDAC=G