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1、1新课标全国卷历年高考立体几何真题（含答案）新课标全国卷历年高考立体几何真题（含答案）班别：班别： _ 姓名：姓名：_题号1234567891011总分得分1.（2011 年全国卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60， AB=2AD，PD底面 ABCD.()证明：PABD； ()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.2.（2012 年全国卷）如图，直三棱柱111ABCABC中，11 2ACBCAA ，D是棱1AA的中点，BDDC 1.（）证明：BCDC 1；（）求二面角11CBDA的大小.23.（2013 年全国卷）如图，直棱柱 ABC-A1
2、B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB.2 2（）证明：BC1/平面 A1CD， （）求二面角 D-A1C-E 的正弦值4.（2013 年全国卷）如图，三棱柱中，.111CBAABC CBCA 1AAAB 601BAA（）证明；CAAB1（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.35.（2014 年全国卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.()证明:PB平面 AEC；()设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥 E
3、-ACD 的体积.6.（2014 年全国卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.111ABCABC11BBC C1ABBC（） 证明：；1ACAB（）若，AB=BC，求二面角的余弦值.1ACABo 160CBB111AABC47.（2015 年全国卷）如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分 别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形.()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；()求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.8.（2015 年全国卷）如图，四边形 ABCD 为菱形，
4、ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的 两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.()证明:平面 AEC平面 AFC；()求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.59.（2016 年全国卷）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，5 4AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD； （）求二面角BD AC的正弦值10.（2016 年全国卷）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，且二面角 DAF
5、E 与二面角 CBEF 都是90AFD-60（I）证明：平面 ABEF平面 EFDC；（II）求二面角 EBCA 的余弦值-611.（2016 年全国 3 卷）如图，四棱锥PABC中，PA 底面面ABCD，ADBC 3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中 点 （I）证明MNA平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.自我总结：7新课标全国卷历年高考例题几何真题（广西多用新课标全国卷历年高考例题几何真题（广西多用 2 卷）卷）1.解：（）因为60 ,2DABABAD, 由余弦定理得3BDAD 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD;又 P
6、D 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PABD （）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为x轴的正半轴 射线 DB 为 y 轴的正半轴，射线 DP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则1,0,0A,03,0B，,1, 3,0C ,0,0,1P.( 1, 3,0),(0, 3, 1),( 1,0,0)ABPBBC uu u vuuvuu u v 设平面 PAB 的法向量为=（x,y,z） ，则,即 3030xyyz 因此可取=( 3,1, 3)n00 n ABn PB n设平面 PBC 的法向量为，则可取=（0，-1，3） ，
7、 m00 m PBm BCm故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 7 7 .42 7cos.72 7 m,n2.证明（） （1）在Rt DAC中，ADAC得：45ADC，同理：1114590ADCCDC ，得：111,DCDC DCBDDC又111,DCDC DCBDDC平面1BCDDCBC.（） （2）11,DCBC CCBCBC平面11ACC ABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H， 1111111ACBCC OAB，C1OA1D 1C O面1ABD1OHBDC HBD得：点H与点D重合 ， 即1C DO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则12
8、 2aC O ，1112230C DaC OC DO 8即二面角11CBDA的大小为30.3.（1）连接，交于点 F，连结，则 F 为的中点，因为 D 为 AB 的中点，所1AC1AC1,DF BC1AC以 DF/，又因为，所以.1BC111FDACDBCAC D平面，平面11/ /BCACD平面(2)由 AA，可设：AB2a,则12 2ACCBAB所以，又因为 ABC-A1B1C1为直三棱柱，12 ,AAACCBaACBC所以以点 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图.则 C（0,0,0） 、1222 ,0,2,022AaaDaa 、，20,2 ,2Eaa 1222 ,0,2,022CAa
9、aCDaa 20, 2 ,.2CEaa 设平面的法向量为则且可解得令得平1ACD, ,nx y z0n CD 10,n CA ,yxz 1,x 面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则1ACD1, 1, 1n 1ACE2,1, 2m ，所以所以二面角的正弦值为3cos,3n m 6sin,3n m 1DACE6.34.【解析】 （）取的中点，连结，.因为ABOOC1OABA1，所以.由于，故CBCA ABOC 1AAAB 601BAA为等边三角形，所以.因为，所BAA1ABOA 1OOAOC1以面.又平面，故.ABCOA1CA1COA1CAAB1（）由（）知，又平面平ABOC ABOA
10、 1ABC面，交线为，所以平面，故，11BBAAABOC11BBAAOA，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立OC1OAOOAx|OA如图所示的空间直角坐标系，则有，,.则xyzO )0 , 0 , 1 (A)0 , 3, 0(1A)3, 0 , 0(C)0 , 0 , 1(B， ， .设平面的法向量为)3, 0 , 1 (BC)0 , 3, 1(1 AABB)3, 3, 0( ACCCBB11，则有，即，可取.故),(zyxn 001BBnBCn0303yxzx) 1, 1 , 3(n9，510|,cos11 1 CAnCAnCAn所以直线与平面所成角的正弦值为.
11、CA1CCBB115105.【解析】(1) 连接 BD 交 AC 于点为 G,连接 EG.在三角形 PBD 中,中位线 EGPB, 且 EG 在平面 AEC 上，所以 PB平面 AEC. (2)设 CD=m,分别以 AD,AB,AP 为 x,y,z 轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(3,0,0),E31,0,22 ,C(3,m,0).所以AD =(3,0,0),AE =31,0,22 ,AC =3,0m.设平面 ADE 的法向量为1n =(x1,y1,z1),则1nAD =0, 1nAE =0,解得一个1n =(0,1,0).同理设平面 ACE 的法向量为2n =(x2,y2,z2),则2
12、nAC =0, 2nAE =0,解得一个2n =(m,- 3,-3m).因为 cos3=|cos|=1212nnn n =22333mm =1 2,解得 m=3 2.设 F 为 AD 的中点,则 PAEF,且 PA=2EF=1 2,EF面 ACD,即为三棱锥 E-ACD 的高.所以 VE-ACD= SACDEF=1 31 23 231 2=3 8.所以,三棱锥 E-ACD 的体积为3 8.6解：（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，侧面 BB1C1C 为菱形，BC1B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又ABB1C，B1C平面 ABO，AO平面 ABO，B1CAO，又
13、B1O=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且 O 为 B1C 的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，|为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1=60，CBB1为正三角形，又 AB=BC，A（0，0，） ，B（1，0，0， ） ，B1（0，0） ，C（0，0）=（0，） ，=（1，0，） ，=（1，0） ，10设向量 =（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，） ，同理可得平面 A1B1C1的一个法向量 =（1，） ，cos ， =
14、，二面角 AA1B1C1的余弦值为7.【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图: (2)作 EMAB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=6,所以 AH=10.以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则,. 00HEnFEn 086010 zyx所以可取，又，故.) 3 , 4 , 0(n)8 , 4 ,10(AF1554|,cos|AFnAFnAFn所以与平面所成的角的正弦值.AFEHGF15548.【解析】(1)连结 BD,设 BDAC=G
