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1、,第九讲 函数的单调性,复习目标及教学建议,基础训练,知识要点,双基固化,能力提升,规律总结,复习目标理解函数单调性的有关概念及其意义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解决有关问题，尤其是求有关函数中参变量的取值范围问题和最值.教学建议函数的单调性是函数的重要性质，是高考的重点考查内容之一，特别是导数作为教材新增内容，为研究函数的单调性提供了强有力工具，函数、不等式和导数的综合应用已成为高考的一个热点，复习时要引起高度重视.,复习目标及教学建议,2008高考复习方案,基础训练,1x1，x2是f(x)定义域内的两个值， 且x1x2，有f(x1)f(x2)，则f(x)是（ ）A增
2、函数 B减函数C常数函数 D单调性不定,D,第九讲 函数的单调性,【解析】条件中丢掉了“任意”与“区间”，所以增减性不定，应选D.如f(x)=x2，取x1=-2，x2=1，满足-21，有f(-2)f(1)，但f(x)=x2在定义域内不是单调函数.,2函数f(x)=x+ 的单调增区间是（ ）A1,+)，-1,0) B (0,1C1,+)，(-,-1 D-1,0),2008高考复习方案,【解析】法一：f(x)是奇函数，设0x1x2，则f(x2)-f(x1)=x2-x1当1x2x10，f(x2)f(x1)，因此f(x)在1,+)上是递增的，又因为f(x)是奇函数，故在(-,-1也是递增的.,第九讲
3、函数的单调性,C,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,法二：f(x)= ，当x1或x-1时，f(x)0(且f(x)不恒为0).故f(x)的单调递增区间为(-,-1和1,+)，故选C.法三：画出f(x)=x+ 的图象如图：由图象易知：其单调增区间为 (-,-1和1,+).,【误区警示】这里的单调递增区间不能写为 (-,-11,+).,3若f(x)=-x2+2ax-5，g(x)= 在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是（ ）A(-1,0)(0,1) B (-1,0)(0,1)C(0,1) D(0,1,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,D,【解析】f(x)=-x2+2ax-5=
4、-(x-a)2+a2-5在1,2上为减函数，需有a1.g(x)= 在1,2上是减函数需有a0.故0a1.,4已知f(x)是奇函数，定义域为x|xR，且x0，又f(x)在区间(0,+)上是增函数，且 f(-1)=0，则满足f(x)0的x的取值范围是,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,(-1,0)(1,+),【解析】f(x)为奇函数，在(0,+)为增函数， 则f(x)在(-,0)上也是增函数.f(-1)=0，f(1)=0,故f(x)0的解为-1x0或x1.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,5若函数f(x)=loga(x3-ax)(a0，a1)在区间内（- ，0）单调递增，则a
5、的取值范围是 ,1),【解析】令u=x3-ax，当a1时，y=logau为增函数，f(x)在（- ，0）内单调递增，则u在（- ，0）上递增，u=3x2-a0在（- ，0）内恒成立.a3x2在x（- ，0）恒成立，则a0，这与a1矛盾.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,当a1时，y=logau为减函数，f(x)在（- ，0）内单调递增，则u在（- ，0）上递减，u=3x2-a0在x（- ，0）恒成立.a3x2在x（- ，0）恒成立，a ，又当 a1,且x(- ,0)时,u0, a1.综上得a ，1）.,2008高考复习方案,知识要点,1函数单调性的有关概念对于给定区间上的函数f(x
6、)：（1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f（x）在这个区间上是增函数.如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.,第二讲 简易逻辑,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,（2）函数在某一区间上是增函数或减函数，则该函数叫做这个区间上的单调函数.这一区间叫做函数的单调区间.,注意函数的单调性是函数的局部性质，函数的单调区间是函数定义域的子集.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,2判断函数的单调性的常用方法（1）定义法；（2）
7、导数法；（3）图象法；（4）复合函数法.,注意后面两种方法不能直接用于解答题中的单调性的证明.,3单调性的有关结论（1）若f(x)，g(x)均为增（减）函数，则f(x)+g(x)为增（减）函数.（2）若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数.（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性.（4）y=fg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)，g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数.即同增异减（5）奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,例
8、1 设函数f(x)=SX（x+ax+bSX）(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.,2008高考复习方案,双基固化,1求函数的单调区间及证明函数单调性,第九讲 函数的单调性,【分析】应先确定函数的定义域，进一步讨论其在定义域上的单调性.,2008高考复习方案,【解析】函数f(x)= 的定义域为 (-,-b)(-b,+).f(x)在(-,-b)内是减函数，f(x)在(-b,+)内也是减函数.下面证明f(x)在(-b,+)内是减函数.法一：取x1,x2(-b,+)，且x1x2，那么f（x1）-f（x2）= ，a-b0，x2-x10，(x1+b)(x2+b)0，f(
9、x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2)，,第九讲 函数的单调性,2008高考复习方案,【总结】（1）证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以应用导数知识求解.（2）判断函数的单调性或者求函数的单调区间常用方法有：定义法；导数法；图象法；复合函数法；化归基本初等函数法.,第九讲 函数的单调性,即f(x)在(-b,+)内是减函数.同理可证f(x)在(-,-b)内是减函数.法二：f（x）= 0，f(x)在(-,-b)和(-b,+)上都是单调递减.,例2 已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.,2008高考复习方案,2已知函数的单调性，求函数表达式中某参数的取值范
10、围,第九讲 函数的单调性,【解析】求函数f(x)的导数：f（x）=3ax2+6x-1.当f(x)0(xR)时，f(x)是减函数， 3ax2+6x-10(xR)且不恒为零 a0且=36+12a0a-3.所以当a-3时，由f（x）0，知f(x)(xR)是减函数.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,当a-3时，在R上存在一个区间，其上有 f（x）0，所以，当a-3时，函数f(x)(xR)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-,-3.,【小结】本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.,例3 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-
11、a|+1，xR.（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值.,2008高考复习方案,能力提升,第九讲 函数的单调性,3函数性质的综合应用,【解析】（1）设a=0，函数f(-x)= (-x)2+|-x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a0时，f(a)=a2+1.f(-a)=a2+2|a|+1，f(-a)f(a)，f(-a)-f(a)此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,（2）当xa时，函数f(x)=x2-x+a+1 =(x- )2+a+ ，若a ，则函数f(x)在(-，a上单调递减，从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a
12、)=a2+1，若a ，则函数f(x)在(-，a上最小值为 f( )= +a，且f( )f(a).当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ ，若a- ，则函数f(x)在a，+）上最小值为 f(- )= -a，且f(- )f(a).,若a- ，则函数f(x)在a,+）上单调递增，从而函数f(x)在a,+）上的最小值为f(a)=a2+1， 综上可知，当a- 时，函数f(x)的最小值是-a，当- a 时，函数f(x)最小值是a2+1，当a 时，函数f(x)最小值是a+ .,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,【小结】本题综合考查了
13、分段函数的奇偶性、单调性及利用单调性求函数的最值等基础知识和运用函数性质分析问题、解决问题的能力，同时还考查了分类讨论思想，数形结合等数学思想的灵活运用能力.,1在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程；同时应充分注意函数的等价性.2函数单调性的证明方法：定义证明法.导数证明法. 3判断函数的单调性的方法：（1）观察法；（2）图象法；（3）定义法；（4）复合函数法；（5）导数法. ,2008高考复习方案,规律总结,第九讲 函数的单调性,4运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段；奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)=f(-x)=f(|x|).5已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件.,2008高考复习方案,第九讲 函数的单调性,注意.确定单调性一定是相对于某个区间而言.并且一定要在定义域内.,
