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1、超越函数综合题超越函数综合题1、讨论函数在区间上的单调性。2( )(0)1axf xax( 1,1)解：设=，12 121222 1211,()()11axaxxxf xf xxx 则1212 22 12()(1) (1)(1)a xxx x xx 1212,( 1,1),x xxx Q且22 1212120,10,(1)(1)0,xxx xxx于是当当120,()();af xf x时120,()();af xf x时故当，函数在上是增函数；0a 时) 1 , 1(当，函数在为减函数。0a 时( 1,1)2、设函数xxfxfxx22)(,2)(| 1| 1|求使成立的取值范围。x解：由于2x
2、y 是增函数，( )2 2f x 等价于3|1|1|2xx（1）当1x 时，|1|1| 2xx，式恒成立；（2）当11x 时，|1|1| 2xxx，式化为322x ，即314x；（3）当1x 时，|1|1|2xx ，式无解；综上，x的取值范围是3,4。3、设关于的方程的两根为，函数。x0222axx)(,14)(2xaxxf（1）求的值；)()(ff（2）证明是上的增函数；)(xf,（3）试确定为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小。)(xf,解：（1）. 4)()(, 168)(, 168)( 22 ff aaf aaf（2）定义法；略（3）函数在上最大值，最小值，)(xf,0)(f4)
3、()(, 0)(fffQ当且仅当时，取最小值 4，此时2)()(ff)()()()(ffff. 2)(, 0fa4、已知函数1, 0)(log)(aaxaxxfa为常数） 。（1）求函数)(xf的定义域；（2）若，试根据单调性定义确定函数)(xf的单调性；2a（3）若函数是增函数，求的取值范围。)(xfy a解：（1）由axxxax得0 22210axxaxx )(xf的定义域是),1(2ax。0, 0xa（2）若，则)2(log)(2xxxf设4121 xx，则2a0 1)(2)()()(2)2()2(212121212211xxxxxxxxxxxx)()(21xfxf故)(xf为增函数。（
4、3）设11 21221xaxaaxx则0 1)()()()()()(212121212211xxaxxxxxxaxaxxax 2211xaxxax)(xf是增函数，)(log)(log2211xaxxaxaa 联立、知，。1a), 1 ( a5、已知函数2( )1(0)f xaxbxx，且函数( )( )f xg x与的图象关于直线yx对称，又( 3)23, (1)0fg。（1）求( )f x的值域；（2）是否存在实数m，使命题2:()(34)p f mmfm和13: ()44mq g满足复合命题pq且为真命题？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由。解：（1）由( 3)23,(0)1,1,
5、1ffab 得，于是2( )1(0)f xxx x，由 21( ) 1f x xx ，此函数在0,是单调减函数，从而( )f x的值域为(0,1；（2）假定存在的实数m满足题设，即2:()(34)p f mmfm和13()44mg都成立又23331( )1 ( )4442f ，13( )24g，11()( )42mgg ，由( )f x的值域为(0,1，则( )g x的定义域为(0,1，已证( )f x在0,)上是减函数，则( )g x在(0,1也是减函数，由减函数的定义得2340110142mmmm解得，433m且m2，因此存在实数m使得命题：p且q为真命题，且m的取值范围为4 ,2)(2,
6、3)3U。6、已知函数4( )log (41)xf xkx()kR是偶函数。（1）求k的值；（2）设44( )log (2)3xg xaa，若函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围。解：（1）由函数( )f x是偶函数可知：( )()f xfx，44log (41)log (41)xxkxkx441log241xxkx 即2xkx 对一切xR恒成立，1 2k ；（2）函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点，即方程4414log (41)log (2)23xxxaa有且只有一个实根，化简得：方程142223xx xaa有且只有一个实根； 令20
7、xt ，则方程24(1)103atat 有且只有一个正根，314at ，不合题意；304a 或3，若31 42at ，不合题意；若132at ；一个正根与一个负根，即1011aa；综上：实数a的取值范围是 3(1,)。7、已知函数。2( )log21xf x （1）求证：函数在内单调递增；( )f x(,) （2）若，且关于的方程在上有解，求2( )log21 (0)xg xxx( )( )g xmf x1, 2的取值范围。m解：（1）证明：任取，则12xx，11221222221()()log21log21log21x xx xf xf x，12 12,02121xxxx Q11222212
8、101,log02121xxxx ，即函数在内单调递增。12()()f xf x( )f x(,) （2）解法 1：由得( )( )g xmf x( )( )mg xf x22log21log21xx， 当时，22212loglog12121xxx12x， 222123,152133215xx 的取值范围是。 m2213log, log35解法 2：解方程，得，22log21log21xxm221log1 2mmx，解得 ， 22112,1log21 2mmxQ2213loglog35m的取值范围是。m2213log, log358、已知函数是奇函数。1( )log1amxf xx(0,1)a
9、a（1）求实数的值；m（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；( )f x(1,)（3）当时，函数的值域是，求实数与的值；( ,2)xn a( )f x(1,)an（4）设函数，当时，存在最大实数 ，使得 2815f xg xaxxa 8a t1,xt时，不等式恒成立，试确定 与之间的关系。 55g x ta解：（1）。 1m （2）由（1）及题设知：，设，1( )log1axf xx11221111xxtxxx 当时，121xx21 12 12122()22 11(1)(1)xxttxxxx12tt当时，即；1a 12loglogaatt12()()f xf x当时，在上是减函数；同理当时，
10、在上是增函数；1a ( )f x(1,)01a( )f x(1,)（3）由题设知：函数的定义域为， ( )f x), 1 () 1,(当时，有，由（1）及（2）题设知：在为增函数，由其值域21na 01a( )f x为知，无解； 当时，有，由（1、2）题设知：(1,)1log11 21an n a 12na3a 在为减函数，由其值域为知，得，( )f x( ,2)n a(1,)1 1log13an a a23a ；1n （4）由（1）题设知：， 22241681583()3f xg xaxxaaxxa xaa 则函数的对称轴，函数在上( )yg x4xaQ8a 410,2xa( )yg x1,
11、xt单调减， 是最大实数使得，恒有成立，( )( )(1)g tg xgt1,xt5( )5g x 2(1)1135, (1)( )1183(1)(8)0gagg taatttata，即。2( )835g tatt 288att9、已知函数为偶函数，且223( )()mmf xxmZ(3)(5).ff（1）求的值，并确定的解析式；m( )f x（2）若，在上为增函数，求实数的取值范围。)(log)(axxfxga) 10(aa且3 , 2a解：（1）由222323(3)(5),35,mmmmff知，又223233( )1,230,152mmmmm 即,0,1mZm当为奇函数，不合题意，舍去；2
12、2330( )mmmf xxx时，当为偶函数，满足题设，故。22321( )mmmf xxx时， 21,mf xx（2）令，若在其定义域内单调2( )log ().ag xxax2( ),u xxax01,logaayu则递减，要使上单调递增，则需上递减，且，( )2,3g x 在2( )2,3u xxax在( )0u x ，即，若在其定义域内单调递增，要使 039) 3 (32 aua a1,logaayu则( )2,3g x 在上单调递增，则需上递增，且，即2( )2,3u xxax在( )0u x 024)2(22 aua； 21 a综上所述，实数的取值范围是。 a21 a10、对定义在
13、0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为G函数，对任意的0, 1x，总有( )0f x ；当12120,0,1xxxx时，总有1212()( )()f xxf xf x成立；已知函数2( )g xx与( )2xh xb是定义在0, 1上的函数。（1）试问函数( )g x是否为G函数？并说明理由；（2）若函数( )h x是G函数，求实数b组成的集合。解：（1）当0,1x时，总有2g xx0( ) ，满足，当12120,0,1xxxx时，22222 121212121212g xxxxxx2x xxxg xg x()()()()，满足；（2）xh x2bx0 1( )( , )为增函数，h x( )h 01 b0( ) b1；由1212h xxh xh x()()()，得1212xxxx2b2b2b，即11xxb121 21()() ；
