《2018年中考数学第一轮复习-第十五讲 二次函数的综合题及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年中考数学第一轮复习-第十五讲 二次函数的综合题及应用（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十五讲第十五讲 二次函数的综合题及应用二次函数的综合题及应用【重点考点例析重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式考点一：确定二次函数关系式 例例 1 1 （2017牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0）， C（0，-3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点 P 使ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐 标思路分析：思路分析：（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，-3）代入）二次 函数 y=x2+bx+c 中，即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x-3； （2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长
2、，再设 P（m，n），根据 ABP 的面积为 10 可以计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算 出 m 的值即可得到 P 点坐标 解：解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3）， 解得，10 3bc c 23bc 二次函数的解析式为 y=x2+2x-3； （2）当 y=0 时，x2+2x-3=0， 解得：x1=-3，x2=1； A（1，0），B（-3，0）， AB=4， 设 P（m，n）， ABP 的面积为 10，AB|n|=10，1 2 解得：n=5， 当 n=5 时，m2+2m-3=5， 解得：m=-4 或 2， P（-4，5）（2，5）； 当 n=
3、-5 时，m2+2m-3=-5， 方程无解， 故 P（-4，5）（2，5）； 点评：点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是 函数图象经过的点必能满足解析式 对应训练对应训练 1（2017湖州）已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标 考点二：二次函数与考点二：二次函数与 x x 轴的交点问题轴的交点问题 例例 2 2 （2017苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数
4、根是（ ） Ax1=1，x2=-1Bx1=1，x2=2Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=3 对应训练对应训练 2（2013株洲）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ） A-8B8 C8D6 考点三：二次函数的实际应用考点三：二次函数的实际应用 例例 3 3 （2017营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠 政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每 千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下 关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元 （
5、1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 思路分析：思路分析：（1）根据销售额=销售量销售价单 x，列出函数关系式； （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； （3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值 解：解：（1）由题意得出： w=（x-20）y =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120x-
6、1600， 故 w 与 x 的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600； （2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200， -20， 当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200 答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元 （3）当 w=150 时，可得方程-2（x-30）2+200=150 解得 x=25，x2=35 3528， x2=35 不符合题意，应舍去 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元 点评：点评：本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性 质
7、解决问题 对应训练对应训练 3 （2017武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植 物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/-4-20244.5植物每天高度增长量 y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例 函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的 理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长
8、量的总和超过 250mm，那 么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果 3解：（1）选择二次函数，设 y=ax2+bx+c（a0）， x=-2 时，y=49， x=0 时，y=49， x=2 时，y=41， 解得，4249494241abccabc 1249abc 所以，y 关于 x 的函数关系式为 y=-x2-2x+49； 不选另外两个函数的理由： 点（0，49）不可能在反比例函数图象上， y 不是 x 的反比例函数， 点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上， y 不是 x 的一次函数； （2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50， a=
9、-10， 当 x=-1 时，y 有最大值为 50， 即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大； （3）10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm， 平均每天该植物高度增长量超过 25mm， 当 y=25 时，-x2-2x+49=25， 整理得，x2+2x-24=0， 解得 x1=-6，x2=4， 在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在- 6x4考点四：二次函数综合性题目考点四：二次函数综合性题目 例例 4 4 （2017自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-2（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛
10、物线于点 D，并且 D（2，3），tanDBA= 1 2 （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形 BMCA 面积的最大值； （3）在（2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线 平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半 径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由思路分析：思路分析：（1）如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，然后用待定系数法求出抛 物线的解析式； （2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然
11、后利用二次函数的性质求出 其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图 2 所示，首先求出直线 AC 与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了 RtAGF 的各个边长；然后证明 RtAGFRtQEF，利用相似线段比 例关系列出方程，求出点 Q 的坐标 解：解：（1）如答图 1 所示，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=3，OE=2tanDBA=，DE BE1 2 BE=6， OB=BE-OE=4， B（-4，0） 点 B（-4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx-2（a0）上， 解得，16420 4223ab ab 1 2 3 2ab 抛物线的解
12、析式为：y=x2+x-21 23 2（2）抛物线的解析式为：y=x2+x-2，1 23 2 令 x=0，得 y=-2，C（0，-2）， 令 y=0，得 x=-4 或 1，A（1，0） 设点 M 坐标为（m，n）（m0，n0）， 如答图 1 所示，过点 M 作 MFx 轴于点 F，则 MF=-n，OF=-m，BF=4+m S四边形 BMCA=SBMF+S梯形 MFOC+SAOC=BFMF+（MF+OC）OF+OAOC1 21 21 2=（4+m）（-n）+（-n+2）（-m）+121 21 21 2=-2n-m+1 点 M（m，n）在抛物线 y=x2+x-2 上，1 23 2n=m2+m-2，代
13、入上式得： 1 23 2 S四边形 BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9， 当 m=-2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9（3）假设存在这样的Q 如答图 2 所示，设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，-2）代入得：，0 2kb b 解得：k=2，b=-2， 直线 AC 解析式为：y=2x-2， 令 x=-2，得 y=-6，F（-2，-6），GF=6在 RtAGF 中，由勾股定理得：AF=22AGGF22363 5设 Q（-2，n），则在 RtAGF 中，由勾股定理得：OQ=
14、22OGQF24n 设Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ=24n 在 RtAGF 与 RtQEF 中， AGF=QEF=90，AFG=QFE， RtAGFRtQEF，即=，AFAG QFQE3 5 6n234n 化简得：n2-3n-4=0，解得 n=4 或 n=-1 存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为（-2，4）或 （-2，-1） 点评：点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、 待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重 要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2
15、）问面积最大值的问题，利用二次函数的 最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的 点 Q 坐标 对应训练对应训练 4 （2017张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： CEQCDO； （4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存 在，请说明理由4解：（1）C（0，1），OD=OC，D 点坐标为（1， 0） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0），将 C（0，1），D（1，0）代入得：，1 0b kb 解得：b=1，k=-1， 直线 CD 的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x-2）2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（-2）2+3，解
