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1、第三章 非线性方程的数值解法,3.1 引言在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0 (2.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解成 ,其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1) 当且仅当,记笔记,当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程
2、,为n次代数方程,当n1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法,3.1.1确定有根区间的方法,为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与x轴交点的横坐标。,由高等数学知识知, 设f (x)为区间a,b上的单值连续, 如果f (a)f (b)
3、0 , 则a,b中至少有一个实根。如果f (x)在a,b上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。,记笔记,由此可大体确定根所在子区间，方法有：(1) 画图法(2) 逐步搜索法,y=f(x),a,b,y,x,(1) 画图法,画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例如 xlogx-1= 0可以改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间2,3内,(1) 画图法,0,2,3,y,x,A,B,(2) 逐步
4、搜索法,(2) 搜索法,对于给定的f (x),设有根区间为A,B,从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在A,B内取定节点:xi=x0ih (i=0,1,2,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点xi-1的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间xi-1,xi。,例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现f(0)0在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下,x,f(x),0 0.5 1.0 1.5 2, + +,可以看出，在1.0,1.5内必有一根,3.2 二分法,二分法又称
5、二分区间法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间a,b为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间a,b内有惟一实根x*。二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。, 取有根区间a,b之中点, 将它分为两半,分点,这样就可缩小有根区间,二分法求根过程,设方程f(x)=0在区间a,b内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根
6、。具体过程如下, 对压缩了的有根区间 施行同样的手法,即取中点 ,将区间 再分为两半,然后再确定有根区间 ,其长度是 的二分之一 如此反复下去,若不出现 ,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度,当k时趋于零,这些区间最终收敛于一点x* 即为所求的根 。,每次二分后,取有根区间 的中点 作为根的近似值，得到一个近似根的序列该序列以根x*为极限只要二分足够多次(即k足够大),便有 这里为给定精度,由于 ,则,当给定精度0后,要想 成立,只要 取k满足 即可，亦即当:,时,做到第k+1次二分,计算得到的 就是满足精度要求的近似根 。在程序中通常用相邻的 与 的差的
7、绝对值或 与 的差的绝对值是否小于来决定二分区间的次数。,例 求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间1.0,1.5内 的一个实根, 使误差不超过0.510-2。 例 证明方程 在区间2, 3内有一个根, 使用二分法求误差不超过0.510-3 的根要二分多少次？ 证明 令,且f(x)在2, 3上连续,故方程f(x)=0在2,3内至少有一个根。又 当 时， ,故f(x)在2, 3上是单调递增函数, 从而f(x)在2, 3上有且仅有一根。,给定误差限 0.510-3 ,使用二分法时,误差限为 只要取k满足,即可，亦即,所以需二分10次便可达到要求。,3.3 迭代法,对于一般的非线性方程,没有通常所
8、说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,3.3.1 迭代法的基本思想为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程(3.3) 其中 为x的连续函数,即如果数 使f(x)=0, 则也有 , 反之, 若, 则也有 , 称 为迭代函数 任取一个初值 , 代入式 的右端, 得到,再将 代入式 的右端, 得到 ,依此类推, 得到一个数列 ， 其一般表示,式(2.4)称为求解非线性方程的简单迭代法。,(2.4),如果由迭代格式 产生的序列 收敛,即,则称迭代法收敛。,实际
9、计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去, 对预先给定的精度要求，只要某个k满足,即可结束计算并取,当然，迭代函数 的构造方法是多种多样的。,3.3.3 迭代法收敛的条件对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式, 但迭代公式并非总是收敛。那么,当迭代函数 满足什么条件时，相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很多次，而是迭代有限次后就停止，这就需要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代,定理3.1 设函数 在a,b上具有连续的一阶导数, 且满足（1）对所有的xa,b 有 a,b（2）存在 0 L0），使,则称序列 是 p 阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,
10、p=2时称为平方收敛。1 p 2时称为超线性收敛。,数p的大小反映了迭代法收敛的速度的快慢，p愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。,定理3.3 设迭代过程 , 若 在所求根 的邻域连续且则迭代过程在 邻域是p阶收敛的。 证: 由于 即在 邻域 , 所以有局部收敛性, 将 在 处泰勒展开,根据已知条件得,由迭代公式,及,有,例8 已知迭代公式 收敛于证明该迭代公式平方收敛。 证: 迭代公式相应的迭代函数为,将 代入，,根据定理3.3可知，迭代公式平方收敛。,为了使迭代过程收敛或提高收敛的速度, 可设法 提高初值的精度以减少迭代的次数 提高收敛的阶数 p,3.3.7 迭代过程的加速* （1）加权法 设 是根 的某个近似值,用迭代公式校正一次得 又 根据中值定理有,其中,当 范围不大时,设 变化不大,其估计值为L,则有,可见,若将迭代值 与 加权平均,则可得到的,是比 更好的近似根,迭代： 改进： 或合并写成：,例9 用加权法加速技术求方程在0.5附近的一个根。 解： 因为在 附近取L=-0.6，建立如下迭代公式,仍取 ,逐次计算得 =0.56658=0.56714 。迭代4次便可得到精度 的 结果,而不用加速技术需迭代18次,效果显著。,
