《大学数学(高数微积分)第一章多项式第九节(课堂讲义)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学(高数微积分)第一章多项式第九节(课堂讲义)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容,引入,本原多项式,第九节 有理系数多项式,整系数多项式的分解定理,整系数多项式的有理根的求法,举例,整系数多项式不可约的条件,二、本原多项式,1. 定义,设,f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a0,是一有理系数多项式.,选取适当的整数 c 乘 f (x) ，,总可以使 c f (x) 是一整系数多项式.,如果 c f (x) 的,各项系数有公因子，就可以提出来，得到,c f (x) = d g(x) ，,也就是,其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于,1 的公因子.,例如,定义10 如果一个非零的整系数多项式,g (x) = bnxn + bn-1x
2、n-1 + + b0,的系数 bn , bn-1 , , b0 没有异于 1 的公因子，也,就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项,式.,上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多,项式 f (x) 都可以表示成一个有理数 r 与一个本原多,项式 g (x) 的乘积，即,f (x) = r g(x) .,可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.,亦即，如果,f (x) = r g(x) = r1 g1(x) ,其中 g(x) , g1(x) 都是本原多项式，,r = r1 , g(x) = g1(x) .,因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x),的因式分解问题
3、，可以归结为本原多项式 g(x) 的因,那么必有,式分解问题.,下面我们进一步指出，一个本原多项,式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘,乘积的问题是一致的.,积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的,作为准备，我们先证,2. 性质,定理 10 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多,项式的乘积还是本原多项式.,证明,设,g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + + b0,f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a0 ,是两个本原多项式，,h (x) = f (x) g (x),=dn+mxn+m + dn+m-1xn+m-1 + + d0,是它们的乘积.,
4、我们用反证法.,如果 h (x) 不是本,原的，也就是说 h (x) 的系数 dn+m , dn+m-1 , , d0 有,而,一异于 1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除,h (x) 的每一个系数.,因为 f (x) 是本原的，所以 p,不能同时整除 f (x) 的每一个系数.,令 ai 是第一个,不能被 p 整除的系数，即,同样地， g (x) 也是本原的，令 bj是第一个不能被,p 整除的系数，即,我们来看 h (x) 的系数 di+j , 由乘积的定义,di+j = aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + .,+ ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + .,
5、由上面的假设，p 整除等式左端的 di+j ，p 整,除右端 aibj 以外的每一项，但是 p 不能整除 aibj .,这是不可能的.,这就证明了， h (x) 一定也是本原,多项式.,证毕,三、整系数多项式的分解定理,定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分,解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它,一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.,证明,设整系数多项式 f (x) 有分解式,f (x) = g (x) h (x) ，,其中 g (x) , h (x) 是有理系数多项式，且, ( g (x) ) ( f (x) ) ， ( h (x) ) ( f (x) ) .,令
6、f (x) = a f1(x) ，,g (x) = r g1(x) ， h (x) = s h1(x) ，,这里 f1(x) ，g1(x) ， h1(x) 都是本原多项式， a 是整,数，r , s 是有理数.,于是,a f1(x) = rs g1(x) h1(x) .,由,g1(x) h1(x) 是本原多项式，从而,rs = a .,这就是说， rs 是一整数 .,因此，我们有,f(x) = (rs g1(x) h1(x) .,这里 rs g1(x) 与 h1(x) 都是整系数多项式，且次数都,低于 f(x) 的次数.,证毕,由定理的证明容易得出,推论 设 f (x) ，g (x) 是整系数
7、多项式，且,g (x) 是本原的.,如果 f (x) = g (x) h (x) ，其中 h (x),是有理系数多项式，那么 h (x) 一定是整系数的.,四、整系数多项式的有理根的求法,定理 12 设,f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a0,其中 r , s 互素，那么必有 s | an , r | a0 .,特别地，如,果 f (x) 的首项系数 an = 1，那么 f (x) 的有理根都是,整数，而且是 a0 的因子.,证明,因此在,有理数域上,从而,(sx - r) | f (x) .,因为 r , s 互素，所以 sx - r 是一个本原多项式.,根据,上述,f
8、 (x) =(sx - r) (bn-1xn-1 + + b0) ,式中 bn-1 , , b0 都是整数.,比较两边系数，即得,an = sbn-1 , a0 = - rb0 .,因此,s | an , r | a0 .,证毕,五、举例,例 1 求方程,2x4 - x3 + 2x - 3 = 0,的有理根.,解,这个方程的有理根只可能是,用剩余除法可以得出，除去 1 以外全不是它的根，,因之这个方程的有理根只有 x = 1 .,例 2 证明,f (x) = x3 - 5x + 1,在有理数域上不可约.,证明,如果 f (x) 可约，那么它至少有一个一,次因子，也就是有一个有理根.,但是 f
9、(x) 的有理根,只可能是 1 .,直接验算可知 1 全不是根，因而,f (x) 在有理数域上不可约.,六、整系数多项式不可约的条件,定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法),设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a0,是一个整系数多项式.,如果有一个素数 p , 使得,2. p | an-1 , an-2 , , a0 ;,那么 f (x) 在有理数域上是不可约的.,证明,如果 f (x) 在有理数域上可约，那么,由,f (x) 可分解成两个次数较低的整系,数多项式的乘积：,f (x) = (blxl + bl-1xl-1 + + b0) (cmxm +
10、cm-1xm-1,+ + c0) (l , m n , l + m = n) .,因此,an = blcm , a0 = b0c0 .,因为 p | a0 , 所以 p 能整除 b0 或 c0 .,所以 p 不能同时整除 b0 及 c0 .,因此不妨假设 p | b0,假设,b0 , b1 , , bl 中第一个不能被 p 整除的是 bk .,比较,f (x) 中 xk 的系数，得等式,ak = bkc0 + bk-1c1 + + b0ck .,式中 ak , bk-1 , , b0 都能被 p 整除，所以 bkc0 也必,须能被 p 整除.,但是 p 是一个素数，所以 bk与 c0中,至少有
11、一个被 p 整除.,这是一个矛盾.,证毕,根据,可知对于任意的 n ，多项式,xn + 2,在有理数域上是不可约的.,由此可见，在有理数域,上，存在任意次数的不可约多项式.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课
12、, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,
