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1、总 复 习,一、绪论,1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。,2.了解数值计算中应注意的一些问题.,一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。,定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。,1.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；,了解范数的等价性和向
2、量矩阵极限的概念。,2.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。,二、解线性方程组的迭代法,3.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。,（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.,（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.,（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.,（4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.,三、解线性方程组的直接法,1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围,2.掌握矩阵的直接三角分解法。,顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.,主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.,定理 设n阶方阵
3、A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .,会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解(GGT)。,了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。,了解平方根法和追赶法的思想。,2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。,七、解非线性方程的迭代法,1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).,2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。,定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.,推论 若1.a(x)b; 2.|(x
4、)| L1, xa,b.则xk+1=(xk),x0a,b都收敛于方程的唯一根.,3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.,4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.,(1) xkp阶收敛于是指:,推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|1, 则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.,(2) 若()0,则迭代法线性收敛.,局部平方收敛.,1.了解差商的概念和性质.,四、插值与最小二乘法,Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。,2.会建立插值多项式
5、并导出插值余项.,3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。,4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。,5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.,1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。,2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。,五、数值积分与数值微分,3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。,5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。,4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。,1.了解构造数值解法的基本思想及概念。,六、常微分方程数值解法,2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。,3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。,七、矩阵特征值问题,1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值.,2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.,3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.,
