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1、浅析二分图匹配 在信息学竞赛中的应用,长郡中学 王俊,引言,二分图匹配是一类经典的图论算法，在近年来信息学竞赛中有广泛的应用。,二分图和匹配的基础知识已经在前辈的集训队论文中有过介绍，本文主要通过一道例题研究其应用。,例题 Roads,请求出修改的最小代价。,给定一个无向图G0=（V0，E0，C），V0为顶点集合,E0为边集合（无重边），C为边权（非负整数）。设n= |V0|，m= |E0|，E0中前n-1条边构成一棵生成树T。请将边权进行如下修改，即对于eE，把Ce修改成De（De也为非负整数），使得树T成为图G的一棵最小生成树。修改的代价定义为：,4,6,2,2,3,5,7,4,4,2,4
2、,3,3,4,f=|6-4|+|2-2|+|5-3|+|7-4|+|3-3|+|2-4|+|4-4|=9,初步分析,根据与树T的关系,我们可以把图G0中的边分成树边与非树边两类。设Pe表示边e的两个端点之间的树的路径中边的集合。,初步分析,那么用非树边u代替树边t1，t2，t3中任意一条都可以得到一棵新的生成树。而如果u的边权比所替换的边的边权更小的话，则可以得到一棵权值更小的生成树。那么要使原生成树T是一棵最小生成树，必须满足条件：,Dt1 Du ； Dt2 Du ； Dt3 Du,初步分析,如果边v，u(u可替换v)，则必须满足 Dv Du ，否则用u替换v可得到一棵权值更小的生成树T-v
3、+u 。,初步分析,不等式DvDu中v总为树边，而u总为非树边。,那么显然树边的边权应该减小(或不变)，而非树边的边权则应该增大(或不变)。,设边权的修改量为，即,e=|DeCe|,当eT， e=CeDe，即De=Cee,初步分析,那问题就是求出所有的使其满足以上不等式且：,最小。,那么当u可替换v时，由不等式,观察此不等式,其中不等号右侧CvCu是一个已知量！,大家或许会发现这个不等式似曾相识!,这就是在求二分图最佳匹配的经典KM算法中不可或缺的一个不等式。,KM算法中，首先给二分图的每个顶点都设一个可行顶标，X结点i为li，Y结点j为rj。从始至终，边权为Wv,u的边(v,u)都需要满足l
4、v + ru Wv,u 。,我们来构造二分图G,建立两个互补的结点集合X，Y。,X结点i表示图G0中树边ai(aiT)。,X,Y,设这些结点均为实点。,X,Y,构造二分图G,如果图G0中，aj 可替换ai，且CiCj0,则在X结点i和Y结点j之间添加边(i,j), 边权Wi,j=CiCj。,X,Y,X,Y,设这些边均为实边。,在结点数少的一侧添加虚结点，使得X结点和Y结点的数目相等。,构造二分图G,X,Y,如果X结点i和Y结点j之间没有边，则添加一条权值为0的虚边(i,j)。,构造二分图G,X,Y,算法分析,设完备匹配X的所有匹配边的权值和为SX，则,对于图G的任意一个完备匹配X，都有,设M为
5、图G的最大权匹配，显然M也是完备匹配，则满足,显然，此时的可行顶标之和取到最小值。,因为虚结点Xi的匹配边肯定是权值为0的虚边，所以li=0。同理对于虚结点Yj，rj = 0。,显然，SM即是满足树T是图G0的一棵最小生成树的最小代价。那么问题就转化为求图G的最大权完备匹配M，即可用KM算法求解。,算法分析,问题解决,复杂度分析,我们来分析一下该算法的时间复杂度。,预处理的时间复杂度为O(|E|) KM算法的时间复杂度为O(|V|E|),由于图G是二分完全图。 |V|=2maxn 1, m n + 1=O(m) |E|=|V|2=O(m2),所以算法总时间复杂度为O(m3) 。,用KM算法解此
6、题在构图时添加了许多虚结点和虚边，但其并没有太多实际意义。,思考,那么，算法中是否存在大量冗余呢？还有没有优化的余地呢？,下面就介绍一种更优秀的 算法！,前面用KM算法解此题时构造了一个边上带有权值的二分图。其实不妨换一种思路，将权值由边转移到点上，或许会有新的发现。,匹配,算法分析,答案是肯定的，如果不添加这些虚结点和虚边，可以得到更好的算法。,同样建立两个互补的结点集合X，Y。,构造二分图G,X结点i表示树边ai(aiT)， Y结点j表示任意边aj(ajV0)。,如果图G0中，aj 可替换ai，且CiCj0,则在X结点i和Y结点j之间添加边(i,j)。,构造二分图G,X,Y,在X结点i和Y
7、结点i之间添加边(i,i)。,构造二分图G,X,Y,给每个Y结点i一个权值Ci。如果点i被匹配则得到权值Ci，否则得到权值0。,构造二分图G,X,Y,算法分析,引理对于图G中的任何一个完备匹配M，都可以在图G中找到一个唯一的完备匹配M与其对应，且SM = SM。对于图G中的任何一个完备匹配M，同样可以在图G中找到一组以M为代表的匹配与其对应，且SM= SM。,证明引理,对于图G中虚结点Xi的匹配边(i，j)M，显然有Wi,j=0，对SM值没有影响。,对于图G中实结点Xi的匹配边(i，j)M，,若Wi,j=0, 则对应图G中的一条匹配边(i，i),若Wi,j0, 则对应图G中的一条匹配边(i，j
8、),这里将介绍如何找到图G中匹配M对应的图G中匹配M。,图G,图G,5,2,6,7,3,2,4,边权为2的匹配边(1,7),有匹配边(1,7)与其对应,边权为0的匹配边(2,8),边权为2的匹配边(3,5),边权为5的匹配边(4,6),有匹配边(2,2)与其对应,有匹配边(3,5)与其对应,有匹配边(4,6)与其对应,X,Y,X,Y,图G,图G,5,2,6,7,3,2,4,图G中这个完备匹配M为：(1,7),(2,8),(3,5),(4,6),SM=2+0+2+5=9,图G中对应的完备匹配M为：(1,7),(2,2),(3,5),(4,6),SM=4+2+3+2=11,SM=-SM,=6+2+
9、5+7=20,X,Y,X,Y,算法分析,因为SM+SM=。所以当SM取到最大值时，SM取到最小值。,又因为M和M均为完备匹配，所以图G的最大权最大匹配就对应了图G最小权完备匹配。那么问题转化为求图G的最小权完备匹配。,算法分析,由于图G的权值都集中在Y结点上，所以SM的值只与Y结点中哪些被匹配到有关。,那么可以将所有的Y结点按照权值大小非降序排列，然后每个X结点都尽量找到权值较小的Y结点匹配。,算法分析,用R来记录可匹配点，如果X结点iR，则表示i未匹配，或者从某个未匹配的X结点有一条可增广路径到达点i，其路径用Pathi来表示。,设Bj表示Y结点j的邻结点集合，Y结点j能找到匹配当且仅当存在
10、点i，iBj且i R。,下面给出算法的流程：,将Y结点非降序排列,初始化M，P和Path,j 1,q Y的第j个结点,存在q的某个邻结点p为可匹配点,更新M，R和Path,jm,j j + 1,结束,复杂度分析,下面来分析一下该算法的时间复杂度。,算法中执行了如下操作：,3 更新M；O(n),2 询问是否存在q的某个邻结点p为可匹配点；O(mn)=O(n3),1 将所有Y结点按权值大小非降序排列；O(mlog2m)=O(n2log2n),4 更新R以及Path;O(n3),复杂度分析,前三个操作复杂度都显而易见，下面讨论操作4的时间复杂度。,如果某个点为可匹配点，则它的路径必然为 i0j1i1
11、j2i2 jk ik (k0),其中i0为未匹配点而且(jt, it)(t 1,k) 为匹配边。,i0,j1,i1,j2,i2,jk,ik,复杂度分析,也就是说我们在更新R和Path时只需要处理X结点和已匹配的Y结点以及它们之间的边构成的子二分图。,显然任意时刻图G的匹配边数都不超过n-1，所以该子图的点数为O(n)，边数为O(n2)。所以该操作执行一次的复杂度即为O(n2)，最多执行n次，所以其复杂度为O(n3)。,所以Y结点中的未匹配点是不可能出现在某个X结点i的Pathi中的。,复杂度分析,那么算法总的时间复杂度为： O(n2log2n) +O(n3)+ O(n)+ O(n3)=,O(n3),因为O(m)=O(n2)，所以该算法相对于算法一O(m3)=O(n6)的复杂度，在效率上有了巨大的飞跃。,回顾,通过对最小生成树性质的分析得到一组不等式DvDu。,将不等式变形后，通过对其观察，联想到了解决二分图最佳匹配经典的KM算法，即得到了算法一。,正是通过猜想将权值由图中的边转移到顶点上，重新构造二分图，才得到了更为优秀的算法二！,总结,信息学竞赛中的各种题目，往往都需要通过对题目的仔细观察，构造出合适的数学模型，然后通过对题目以及模型的进一步分析，挖掘出问题的本质，进行大胆的猜想，转化模型，设计优秀的算法解决问题。,结语,仔细观察,大胆猜想,认真分析,谢谢,
