数值分析第二章

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1、主讲教师 王建国,数值分析,几点要求:,记好课堂笔记,保证课堂纪律,及时完成作业,按时上课，不迟到早退,课程安排,第二章 数值计算的基本概念 （2学时）误差与有效数字 计算机计算的几个问题 算法的稳定性问题 算法设计原则,课程安排,第三章线性方程组求解的数值方法（4学时） 高斯消元法 矩阵分解 向量范数与矩阵范数 迭代法求解 方程组的病态问题与误差分析,课程安排,第四章函数的数值逼近 （5学时）代数多项式插值问题 线性插值 三次样条插值 曲线拟合的最小二乘法,课程安排,第五章数值积分 （4学时）插值型求积公式 积分方程的数值求解,课程安排,第六章常微分方程初值问题 （3学时）欧拉方法 稳定性与

2、收敛性分析,课程安排,第七章非线性方程求根方法 （4学时）方程求根问题 简单迭代法 牛顿迭代法,课程安排,课程总结和复习 （2学时）上机实验 （8学时）,课程基本要求,掌握数值方法的基本原理构造算法的基本思想和技巧明确如何在计算机上使用,教材和参考书,教材： 数值计算引论，白峰杉，高等教育出版社，参考资料： 科学计算引论基于MATLAB的数值分析, Shoichiro Nakamura,电子工业出版社 数值分析基础教程, 李庆杨, 高等教育出版社,联系方式,Email: Call: 61830486 Address: 科研楼B505房 教师社区 电子工程学院 王建国,数值分析有什么用？,研究

3、工作需要什么?,研究活动的大致过程,研究工作需要什么?,模型,分析,结论,分 析 工 作,仿真实验,理论分析,。,数值计算,数值计算,数值计算中的问题?,前 言,数值分析的任务 数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科,数值分析的过程 构造算法、使用算法、分析算法,例：,地球的表面积有多大？,数学工具,前 言,数值分析讲述的基本内容 如何把数学模型归结为数值问题 如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播 如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量 如何分析算法的优缺点,例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起大风来了？！,病态问题

4、/* ill-posed problem*/,例：线性方程组求解,则得不到解,线性方程组系数对解的敏感,第二章 数值计算的基本概念,本章内容,数的表示方法 误差概念和分析 数值计算的算法问题 数值计算应注意的问题,2.1 数的表示方法,计数,1. 什么叫数？,2. 计数产生 数值来源于计数,它由远古的计数产生而逐步形成了它的表示方法。,数就是一串符号或字母的约定性组合,用以表示事物量或值的多寡程度,通用的记数法,定点形式（定点数),其中每个数字 i , j (i,j=0,1, n)是介于0与 R-1之间的正整数 左边是数的书写形式,右边是该数所表达的值，它等于每位数字与其单位乘积之和。该数的总

5、位数称为字长,通用的记数法,浮点形式（浮点数）,Rp (0.d1d2d1m) R=Rp (d1R-1 + d2R-2 + + dmR-m)其中 P 称为阶码，(0.d1d2d1m) R称为尾数,这里0 di R-1, i=0,1,m 当d10时,称为规格化数 当d1=0时，称为不规格化数 尾数的位数称为字长,通用的记数法,在下面三数中：,(37.21829)10=102(0.3721829)10=103(0.03721829)10定点数 浮点规格数 浮点非规格化,采用浮点形式表达数,可以拓宽数值的表达范围,可以化减特大或特小的定点数的写法 进位制的基数R越大,数的字长就越短,但运算规则越复杂，

6、反之亦然,二进制记数法,符号,尾数,阶码,1,52,11,2.2 误差的概念,误差的来源,现 实 世 界,研究 对象,测量 数据,数学模型的建立,计算方法,数值运算,测量 误差,模型 误差,方法 误差,舍入 误差,结果,绝对误差:,设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝对误差:为近似数p的绝对误差,简称误差,绝对误差限,由于精确值一般是未知的,因而不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限,相对误差,相对误差定义为绝对误差与精确值之比表示单位长度中含有多少误差,由于x一般不知道,实际计算时用近似值p代替。,绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时亦用百分比、千分比表示,相对

7、误差限,误差来源：舍入误差,将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法,如果数A的字长要求保留到小数后n位,可以将数切分成高位部分和低位部分,舍去低位部分，即取 a= a0 a1 am . am+1 am+n ，那么,截断近似法,如果近似数a的绝对误差限不超过最末位的1个单位，称a为准确到小数后第n位的可靠数，每位数字均为可靠数字,四舍五入法,四舍情况，当am+n+1 =1,2,3,4时，取 a= a0 a1 am . am+1 am+n ，那么,四舍五入法,五入情况 当am+n+1 =5,6,7,8,9时，取 a= a0 a1 am . am+1 (am+n+1) ,那

8、么,|= 0 . 0 0 1 - 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 1 - 0 . 0 0 50. = 0.5x10-n,5,6,7,8,9,四舍五入法的|0.5x10-n，在a的最末一位上有半个单位误差,例：多项式值的数值计算,x=0.988:0.0001:1.012; y=x.7-7*x.6+21*x.5-35*x.4+35*x.3-21*x.2+7*x-1; plot(x,y),有效数字概念,对于a=a0 a1 am . am+1 am+n(a00)的近似数， 若|0.5x10-n，则称a为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a的有效数字。有效数和可靠数的最

9、末位数字称为可疑数字,有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小,关于有效数字的推论,推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位,关于有效数字的推论,推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：,: 例：的有限位数,取 x1 = 3，误差限不超过0.5;,取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ;,取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ;,例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ?,解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则,估计 x 和 y 的相对误差上限满足

10、近似关系, n 4,截断误差,用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差,解：取Rn =/2=0.0005, =/2 =0.0005设计算公式为,y=1/x5,令Rn 1/4n40.0005 则n应满足 n(500)44.7 取n=5，设计算每项数值的舍入误差为， 令4=0.00050.0002,取=0.00005=0.5*10-40.0002 用四位小数计算得S5=1+0.0313+0.0041+0.0010+0.0003=1.0367 按= 0.5*10-3，将S5舍入为1.037,2.3 数值计算问题,数值计算问题的适定性,1. “良态”问题和“病

11、态”问题 在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化X，对应的参数误差y也很小，则称该数学问题是良态问题；若y很大，则称为病态问题 病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化 数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关,数值计算问题的适定性,2. 稳定算法和不稳定算法 如果用数值方法计算时,初始误差对结果影响小的算法称为稳定算法。否则称为不稳定算法,例: 计算积分值,经A1出发, 递推计算得到：,分析：算式系解析方程导出计算过程中未见有相近大数相减剩下的可能性是从初始值起的舍入误差A1的舍入误差是进一步估计

12、,由于误差在计算过程中放大很严重，所以这是一种 数值不稳定的算法。,寻找一种数值稳定的相反的算法，把乘法改为除法。用相向的递推关系,误差的传播情况成为：,1.3.5依次类推,可见从 n 很大的 An 值开始，反过来算，误差将不断减小。,2.4 注意事项,几点注意事项,1. 避免相近二数相减,例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,4 Remarks,2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出,3. 避免大数吃小数,4 Remarks,例：用单精度计算 的

13、根。,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,算法2：先解出再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109,4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,5. 选用稳定的算法。,作业：,P-35、361，2，4，5，7,