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1、1,第 三 章 多维随 机 变 量 及 其 分 布,2,一 主要内容 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的定义 2. 二维随机变量的分布函数 3. 二维离散型随机变量及其分布律 4. 二维连续型随机变量的概率密度 5. 边缘分布 随机变量的独立性随机变量简单函数的分布,3,三 例题分析,例1 从一批产品包括10件正品, 3件次品中重复抽取,每次取1件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同, 求抽取次数X的分布律 解 P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143P(X=4)= (
2、3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286故 X 的分布律为,4,例2 设随机变量X的分布密度为,试求 X的分布函数F(x). 解：当x0时， 当 时， 当 时，,5,当 时，故X的分布函数为例3 设随机变量X 的分布律为,6,求 的分布律。解：由X的分布律有Y取值为4,1,0,9PY=0=PX=0=1/5PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30PY=4=PX=2+PX= -2=0+1/5=1/5PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30故Y的分布律为,7,例4 设随机变量X的分布函数为求:（1）A的值；（2）X落在（0.2, 0.6）
3、内的概率；(3）X的密度函数 f（x）。解:（1）由 F(x)连续性有 F(1)= ,而而F(1)1 故A=1,8,(2) P0.2X0.6=F(0.6)-F(0.2) =(3) 当 当故 例5 已知随机变量XP|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定c和d的值。 解：已知 P|x-10|c=P|X-10|/2c/2=,9,所以 查表得 c/2=1.96故 c=3.92又已知 PXd=查表得 既 d=6例6 设随机变量 ，且已知试求X落在区间（9.95, 10.05）内的概率.,10,解：例7 设随机变量X的概率分布为求X的分布函数 F(x). 解： 当x1时， F（x）0 当 ，F
4、(x)=P(X= -1)=1/6,11,当 ，F(x)=P(X= -1)+P(X=2)=1/6+1/2=2/3当 时, F(x)=PX= -1+PX=2+PX=3=1故,12,例8（X，Y）的联合分布律为,求（1）X的边缘密度；（2）Y的边缘密度。,13,解: (1) X的分布律为(2) Y的分布律为,14,例9 设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为问X与Y是否相互独立，并说明理由。,解：关于X的边缘密度为,关于Y的边缘分布密度为,15,在 中，均有故X与Y不独立。,例10 设二维随机变量（X，Y）的分布密度,求分布函数 F(x,y).,16,解,例11随机变量X的分布密度为求Y=X2的分
5、布密度。,17,解：由,18,第二章 随机变量及其分布,练习与答案 1一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。 2重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。 3对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。,19,4已知某元件使用寿命服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个
6、数的分布律 5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？,20,6设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。 7设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数. 8设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数. 9在箱中装有12只球，其中2只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种
7、情况：（1）写出 的联合分布列；（2）判断 是否独立。,21,10设 的联合密度函数为 求（1）常数 ；（2） ；（3） ；（4） 是否独立。11设相互独立，且密度函数分别为 求 . 12设 相互独立，均服从标准正态分布 求 的密度函数。,22,13设随机变量（ ）的概率密度为 求 的概率密度。,23,参考答案,1分布列 P 2 34（1） ；（2） 5（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6,24,7（1） ；（2） ；（3） ；8 9（1）有回放： 0 10 1 此时， 相互独立,x,Y,25,（2） 无回放：0 10 1 此时， 不独立 10 （1） ；（2） ；（3）（4） 相互独立 1112,26,13,
