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1、第六单元 平面向量与复数,知识体系,第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1. 向量的有关概念及表示法,大小,方向,长度,模,0,0,1,e,1PK1棋牌公社官网 编辑整理,相同,相反,平行,ab,平行,相等,相同,a=b,相等,相反,-a,0,2. 向量的线性运算,b+a,a+(b+c).,三角形,平行四边,三角形,a+(-b),3. 向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使.,b=a (a0),相同,相反,0,a+a,a+b,典例分析,题型一 平面向量的有关概念 【例1】给出下列五个命题 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=
2、b; 在ABCD中,一定有 ; 若m=n,n=p,则m=p; 若ab,bc,则ac. 其中正确的序号是_.,分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解 决本题的关键.,解 两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.正确. 学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: 向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况: 零向量与任何向
3、量共线；单位向量的长度为1，方向不固定.,举一反三,1.已知下列命题： 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a,b 中的一个方向相同； 在ABC中，必有 若 ，则A,B,C为一个三角形的三个顶点； 若a与b均为非零向量，则 一定相等。 其中真命题的序号为 。,解析： 错误，a+b=0时，就不满足结论。正确， . 错误，A,B,C三点还 可以共线。错误，只有a与b同向时才相等。,答案： ,分析 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用 来分别表示待求的向量.,题型二 平面向量的线性运算,证明 AD=AC+CD,AD=AB+BD, 2AD=AC+AB+CD+BD, 即2
4、AD=AC+AB. 同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB. 所以2(AD+BE+CF) =AC+AB+BA+BC+CA+CB=0. 故AD+BE+CF=0. 学后反思： 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意: (1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.,(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有 (其中O为任一点).,举一反三,2.已知ABCD， ,若用a,表示,解析： 如图,题型三 向量的共线问题 【例3】 设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.
5、分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,得到BD=AB(或AD=AB等),BDAB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线. 证明 BC=2a+8b,CB=-2a-8b, BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b), BD=5AB.,由向量共线定理得BDAB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.,学后反思 (1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共
6、线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.,举一反三 3. 设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值. 解析： BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若A、B、D三点共线,则ABBD;从而存在唯一实数,使AB=BD,即k的值为-8时,A、B、D三点共线.,即2e1+ke2=(e1-4e2),整理得(2-)e1=-(k+4)e2, e1、e2不共线,题型四 向量知识的综合应用 【例4】（14分) 已知向量a=2e
7、1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2, 其中e1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数,使向量d=a+b与c共线? 分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.,解 d=a+b=(2e1-3e2)+(2e1+3e2) =(2+2)e1+(3-3)e2 4 要使cd,则应存在实数k,使d=kc, 6 即(2+2)e1+(3-3)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2, 8 e1,e2不共线,故存在这样的实数,只要满足=-2,就能使d与c共线14,学后反思 设 不共线,若则有 ,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.,举一反三 4. 已知ABC的
8、三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数满足AB+AC=AP,求的值. 解析： AB+AC=AP, PB-PA+PC-PA=AP, 即PB+PC-2PA=AP. 又PA+PB+PC=0, PB+PC=-PA, -3PA=AP=-PA, =3.,考点演练,10.已知直线x=x=a与圆 交与A,B两点，且 ， 其中O为坐标原点，求实数a的值。,解析： 如图所示，以OA.OB为边作OABC，则由 得： OABC为矩形。由图像得，直线y=-x+a在轴上的截距为2.a=2,11.在四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点，求证：,方法二：取BD的中点O,则,证明: 方法一：
9、如图，连接EC，EB，则而,12.(2009江苏模拟)已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），（1）求证：当时，不论为何实数，A,B,M三点共线；（2）若 ，求当 且ABM的面积为12时a的值,解析： （1）当 时，A,M,B三点共线。,(2)当 时，故 点M 到直线AB:x-y+2=0的距离为解得a=2 ，故所求a的值为2.,第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,基础梳理,1. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数1,2,使a= 1e1+2e2. 其中， 不共线的向量
10、e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线 互相垂直 时,这种分解也称为向量a的正交分解.,(3)平面向量的坐标表示 一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作 a=(x,y). 若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=x i+yj.,2. 平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算,(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-
11、y1),即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去 始点 的坐标. (3)平面向量平行(共线)的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,则a与b共线 a= .,典例分析,b,题型一 平面向量基本定理 【例1】 如图,在OAB中, ,AD与BC交于点M,设 ,以a、b为基底表示 .,分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.,解 设OM=m a+n b(m,nR), 则AM=OM-OA=(m-1)a+n b,因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1.,又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+
12、n=1.所以,学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便. (2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.,举一反三,1.如图所示，OADB是以向量 =a, =b为边的平行四 边形，点C为对角线ABOD的交点，又BM= BC,CN= CD,试用a,b表示,解析 ：,题型二 平面向量的坐标运算,分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式,列方程组,求出坐标.,解 设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6
13、),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为 所以有所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4). 学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.,举一反三2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN坐标.解析：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), CA=(1,8),CB=(6,3), CM=3CA
14、=(3,24),CN=2CB=(12,6). 设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).,题型三 平面向量的坐标表示 【例3】 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+k c)(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. 分析 (1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值. (2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.,解 (1)(a+kc)(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, ,
