高数学概率复习

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1、概率,加油,复习内容,一、随机事件及其概率：,事件：,必然事件：,在一定的条件下必然要发生的事件 记作U；,不可能事件：,在一定的条件下不可能发生的事 件，记作V,随机事件：,在一定的条件下可能发生也可能 不发生的事件，记作A、B等。,复习内容,一、随机事件及其概率：,2、概率：,摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，,一般地，在大量重复进行同一试验时，事件,记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有,总是接近于某个常数，,在它附近,A发生的频率,记作P(A),，所以,，即,复习内容,二、等可能事件：,2.等可能性事件的概率的计算方法,从集合角度看：,3.求等可能事件的概率，利用排列、组合的

2、知识先 求基本事件总数n，再求所求事件包含基本事件数m。,1.定义：对于满足下面特点的随机事件叫做等可能性事件 (1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果 (2)对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的,例1.在100件产品中，有95件合格品，5件次品。 从中任取2件，计算： (1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率； (3)1件是合格品、1件是次品的概率,典型例题,解：从100件产品中任取2件，可能出现的结果为,(1)从95件合格品中取到2件的结果为,记“任取2件，都是合格品”为事件,那么事件,的概率,例2.(04全国文)从1，2，9这九个数中，随机

3、抽 取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( ),典型例题,解：基本事件总数为,和为偶数分为两种情况：两个奇数一个偶数 或都是偶数,所以,得概率,例3.(04全国理)从1，2，3，4，5中，随机抽取3个 数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和 等于9的概率是( ),典型例题,解：基本事件总数为,所以满足要求的三位数共有,应选D,用枚举法得出和为9的三个数字可以是： 1,3,5或2,3,4或1,4,4或2,2,5或3,3,3,典型例题,例4.有3个人需进入4间房中，每人进入每一间房的 概率是相同的，求下列事件的概率 (1)某指定的3间房中各有1人 (2)恰有3间房中各有1人 (3)

4、某指定的一间房中恰有2人,解：(1)设某指定的3间房中各有1人为事件A,(2)设恰有3间房中各有1人为事件B,(3)设某指定的一间房中恰有2人为事件C,此问题可归结为生日问题,复习内容,三、互斥事件：,1.定义：事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。,一般地，如果事件,互斥事件，那么就说事件,彼此互斥,中的任何两个都是,从集合角度看，n个事件彼此互斥，是指各个事 件所含的结果组成的集合彼此不相交。,复习内容,2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件，记作：,说明：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对 立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事 件

5、互斥的充分不必要条件,从集合角度看，两个事件对立时，两个事件所 含的结果组成的集合即为事件的全体(全集)。,3.概率公式：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生 (即A、B中有一个发生)的概率等于事件A，B分别发,生的概率的和,一般地，如果事件,那么事件,彼此互斥,这n个事件分别发生的概率的和，,发生的概率，等于,复习内容,对立事件的概率公式：,典型例题,例5.袋中有5个红球，10个黑球，从中随机地取出 两球，求下列事件的概率 (1)取出的两球都是红球 (2)取出的两球同色 (3)取出的两球不同色 (4)取出的两球至少有一个是红球,解：(1)所求概率为,(2)取出两球同色，分为两种情况，即两红

6、(事件A)、 两黑(事件B)，且两个事件是互斥的,所求概率为,典型例题,例6.(04广东理)某班委会由4名男生与3名女生组成， 现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生 当选的概率是_(用分数作答),解：方法(一),方法(二),策略：找事件的对立事件，以简化运算,复习内容,三、相互独立事件：,1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的 概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。,2.相互独立事件与互斥事件的区别： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。,一般地，如果事件A与B相互独立，那么,

7、也都是相互独立的。,复习内容,3.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个 事件发生的概率的积。,一般地，如果事件,这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，即,相互独立，那么,复习内容,4.概率的和与积的互补公式 一般地，对于n个随机事件,，事件,表示事件,至少有一个,发生，,表示事件,都发生，,即,都不发生。显然,与,是两个对立事件，由两个对立事件,的概率和等于1，可得,复习内容,5.独立重复试验：在同样的条件下，重复地各次之间 相互独立地进行的一种试验。在这样的试验中，每一 次试验两种结果，即某事件要么发生，要么不发生， 并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。,概率公式：如

8、果在一次试验中某事件发生的概率是P， 那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的 概率为,典型例题,例7.(04重庆文)已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）,解：每次取灯泡的结果是相互独立的， 所以，所求概率为,例8.(04广东文)一台X型号自动机床在一小时内不需 要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动 机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工 人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632

9、D. 0.9728,典型例题,解：方法一,方法二,辨析高考,例9.(00全国17)甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中 选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题 (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？,解：(1)所求概率为,(2)甲、乙都抽到判断题的概率为,所以至少有一人抽到选择题的概率是,例10.(01全国18/19)用A、B、C三类不同的元件连接 成两个系统M、N。当元件A、B、C都正常工作时， 系统M正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少 有一个正常工作时，系统N正常工作。已知元件A、 B、C正常工作的概率依次为0.80，

10、0.90，0.90，并且 工作状态相互独立。请分别求出系统M、N正常工作 的概率,辨析高考,例11.(02全国19/20)某单位6个员工借助互联网开展工 作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)。 (1)至少3人同时上网的概率 (2)至少几人同时上网的概率小于0.3,解：(1)至少3人同时上网，包括3、4、5、6人同时上网,(2)至少5人同时上网的概率小于0.3,辨析高考,例12.(04全国文20)从10位同学（其中6女，4男）中 随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概 率均为,，每位男同学能通过测验的概率均为,试求： （1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率； （2）10位

11、同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中 且通过测验的概率.,解：(1)随机选出的3位同学中，至少有一位男同学 的概率为,(2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为,辨析高考,辨析高考,例13.(04全国18/19)已知8支球队中有3支弱队，以抽签 方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支. (1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率； (2)A组中至少有两支弱队的概率.,(1)解法一：三支弱队在同一组的概率为,故有一组恰有两支弱队的概率为,解法二：有一组恰有两支弱队的概率,(2)A组中至少有两支弱队的概率,辨析高考,例14.(04全国文20)某同学参加科普知识竞赛，需回 答3个问题.竞赛规则规定：答

12、对第一、二、三问题分 别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名 同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、 0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （）求这名同学得300分的概率； （）求这名同学至少得300分的概率.,解：记“这名同学答对第i个问题”为事件,(1)这名同学得300分的概率,(2)这名同学至少得300分的概率,辨析高考,例15.(04重庆文18)设甲、乙、丙三人每次射击命中 目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目 标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次 的概

13、率.,解：记“第k个人命中目标”为事件,(1)至少有一人命中目标的概率为：,恰有两人命中目标的概率为：,(2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次 重复独立试验，恰有两次发生的概率,辨析高考,例16.(04湖南18/19)甲、乙、丙三台机床各自独立地 加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而 乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加 工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的 概率为 . （）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一 等品的概率； （）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求 至少有一个一等品的概率,辨析高考

14、,解：（）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各 自加工的零件是一等品的事件.,解得,(舍),得,(2)设从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少 有一个一等品为事件D,辨析高考,例17.(04湖北文21)为防止某突发事件发生，有甲、 乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单 独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发 生的概率（记为P）和所需费用如下表：,预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种 预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请 确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率 最大.,辨析高考,解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过 120万元.由表可知，采用

15、甲措施，可使此突发事件不 发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元， 由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不 发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97. 方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元， 故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件 不发生的概率为 1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可 使此突发事件不发生的概率最大.,归纳总结,1.五种事件的概念及理解 2.四

16、种事件的概率基本公式： (1)等可能事件：除 (2)互斥事件有一个发生：加 (3)对立事件发生：减 (4)相互独立事件同时发生：乘,； http:/ 琅琊榜娱乐注册 vyd02wau 了千万里之外的故乡，返回到了似乎有一些遥远了的童年时代，想到了母亲，想到了妹妹，想到了慈祥的姥娘和姥爷，想到了舅舅一家，也想到了童年的伙伴们，尤其是心灵手巧温顺善良的秀儿、憨厚豪爽的大壮走了一会儿神，耿正无比美妙的二胡乐曲声儿又将耿英拉回到了眼前的现实中。眼前，除了这几乎可以说是天籁之音的二胡乐曲声之外，屋子里再没有一点点其他的声音了。耿英抬头望望白幺爹。但见他微微闭目，轻轻晃动着身体，双手无声地拍打着自己的双膝

17、盖，一副陶醉享受的样子。耿英感觉非常欣慰，心下里想，以后白幺爹每次出江回来，都要让哥哥给他拉二胡听！白家这个当家人也真够不容易的，一年里绝大部分时间都在长江上漂。温馨的家对于这个善良憨厚的魁梧汉子来说，更像是人生旅途中的客栈一样，但他怎么对妻子和女儿对他的关爱就那么不领情呢！耿英有点儿不解地轻轻地摇摇头，苦笑了一下。这样想着，耿英再转头看看乔氏母女。只见小青正陶醉在另外一种境界中：与其说她是在用心地聆听乐曲儿，还不如说她是在瞪大眼睛看乐曲儿；不，是在看耿正正在拉着的二胡，看耿正拉二胡的手和胳膊，看耿正拉二胡的姿态慢慢地，她的目光从耿正的胳膊上移动到了脸上，目不转睛且柔情似水。一会儿，竟然羞涩地

18、低下了头，只敢偷偷地瞄一眼耿正支撑着二胡琴筒的膝盖、微微摆动的裤腿和踩在地上的鞋子。耿英再看看乔氏，发现她正在满脸欣喜地看着耿正，眼眶里似乎还有一些清澈的东西在不算太明亮的灯光下闪闪发光。然而，端坐在那里专注地拉二胡的耿正，对于母女二人的这些有点儿反常的表现浑然不觉！耿英心里暗叫：“不好！莫不是”隔着哥哥，耿英看不明了爹爹和弟弟的表情。耿英知道，弟弟年幼尚不知晓大人们的那些个情感之事，因此间心里只念着：爹爹呀，你可别像白幺爹那样闭着眼睛听啊！夜慢慢深了，但除了耿英之外，拉曲儿的、听曲儿的和看拉曲儿的，似乎都忘记了时间怎么来唤醒大家呢？想一想，耿英慢慢地挪动身子，努力地伸长右腿，再伸长一点儿，终于够得着哥哥的脚尖了；再往前用力推一推，耿正终于从忘我的状态中回过神儿来。他完全领会了妹妹的意思，轻松地拉了一小段过门儿曲后，乐曲声儿戛然而止。少顷，大家也从各自忘情的姿态中回归了。耿直高兴地说：“哥哥，你拉得太好了！好久没有听到这么好听的曲儿了！”乔氏拿手绢擦擦眼睛，笑着说：“看我，怎么高兴地都给流眼泪了！”她又转头看看女儿，高兴地说：“我们娘儿俩从来没有听过这么好听的曲儿，今儿个可真是开了眼界了！”小青也红着脸笑着说：“是呀，真正是开了眼界哩！”白百大则意味深长地说：“正伢子啊，幺爹多么想每天听你拉二胡啊！”耿老,