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1、02 原子的结构和性质原子的结构和性质【2.1】氢原子光谱可见波段相邻 4 条谱线的波长分别为 656.47、486.27、434.17 和410.29nm，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数 R 及整数 n1、n2的数值。22 1211()Rnn解：将各波长换算成波数：1656.47nm1115233vcm2486.27nm1220565vcm3434.17nm1323032vcm4410.29nm1424373vcm由于这些谱线相邻，可令1nm，21,2,nmm。列出下列 4 式：2215233 1RR mm 2220565 2RR mm 2223032 3RR mm
2、2224373 4RR mm (1)(2)得： 23212152330.7407252056541mmm 用尝试法得 m=2（任意两式计算，结果皆同） 。将 m=2 带入上列 4 式中任意一式，得：1109678Rcm因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式：22 1211vRnn式中，1 12109678,2,3,4,5,6Rcmnn。【2.2】按 Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到 5 位有效数字）和线速度。解：根据 Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的
3、库仑引力大小相等，即：222 04nnnme rr n=1，2，3，式中，, ,nnm re和0分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为nr时的线速度，电子的电荷和真空电容率。同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为：2n nnhmr将两式联立，推得：22 0 2nhnrme ； 202ne h n当原子处于基态即 n=1 时，电子绕核运动的半径为：2 0 12hrme 23412211231196.62618 108.85419 1052.918 9.10953 101.60219 10J sCJmpm kgC AAA若用原子的折合质量代替电子的质量m，则：2 0 1252.91852.
4、91852.9470.99946hmpmrpmpme 基态时电子绕核运动的线速度为：21 02e h21934122111.60219 102 6.62618 108.85419 10CJ sCJmAAA612.1877 10 m sA【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i）处于基态的另一氢原子电离？（ii）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为197.44 10J）？(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补
5、罗意波的波长。解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：18 212.18 10nEJn 式中 n 是主量子数。 第一激发态(n2)和基态(n1)之间的能量差为：181818 1212211( 2.18 10)( 2.18 10)1.64 1021EEEJJJ 原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：8134118 1(2.9979 10) (6.626 10)1211.64 10chm sJ snmEJ 第六激发态(n7)和基态(n1)之间的能量差为：181818 6712211( 2.18 10)( 2.18 10)2.14 1071EEEJJJ 所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射
6、出的谱线的波长为：8134618 6(2.9979 10) (6.626 10)92.92.14 10chm sJ snmEJ这两条谱线皆属 Lyman 系，处于紫外光区。（b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：E=E-E1=-E1=2.1810-18J而 E1=1.6410-18JCu=7.4410-19JE6Cu=7.4410-19J所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。（c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：2hhh pmvm E式中 E 为照射到晶体上的光子的能量和 Cu之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出
7、的光电子的波长：34 11 31181926.626 10519 (2 9.1095 10) (1.64 107.44 10)J spm kgJJ 34 61 31181926.626 10415 (2 9.1095 10) (2.14 107.44 10)J spm kgJJ 【2.4】请通过计算说明，用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为 1120pm的线型分子22CH CHCHCHCHCHCHCH，该分子能否产生吸收光谱。若能，计算谱线的最大波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。解：氢原子从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产生的光子的能量为：22114813.5
8、9513.59513.5957149HEeVeVeV 6113.321.285 10eVJ molA而22CH CHCHCHCHCHCHCH分子产生吸收光谱所需要的最低能量为：82222254222549888ChhhEEEmlmlml 2342311296.626 108 9.1095 101120 10J skgm A194.282 10J512.579 10 J molA显然8HCEE ，但此两种能量不相等，根据量子化规则，22CH CHCHCHCHCHCHCH不能产生吸收光效应。若使它产生吸收光谱，可改换光源，例如用连续光谱代替 H 原子光谱。此时可满足量子化条件，该共轭分子可产生吸收
9、光谱，其吸收波长为： 3481234231126.626 102.998 1096.626 108 9.1095 101120 10hcJ sm s EJ skgmAAA460nm【2.5】计算氢原子1s在0ra和02ra处的比值。解：氢原子基态波函数为：03/21 011r a sea 该函数在 r=a0和 r=2a0处的比值为：00003/21 0 3/2220112.71828 11a aa aeaeee ea 而2 1s在在 r=a0和 r=2a0处的比值为：e27.38906【2.6】计算氢原子的 1s 电子出现在100rpm的球形界面内的概率。1nax naxnaxx enx e
10、dxxe dxcaa解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的 1s 电子出现在 r=100pm 的球形界面内的概率为：100221 00 0pmsPd 002210010022 22 33 0000 000011sinsinrrpmpm aaerdrd dr edrddaa 0010022100223 2000000044 224pmrrpm aaa ra rar edreaa0100222 000221pmr arreaa0.728 那么，氢原子的 1s 电子出现在 r=100pm 的球形界面之外的概率为 1-0.728=0.272。【2.7】计算氢原子的积分：22
11、2 100( )sinsrP rrdrd d ，作出( )P rr图，求 P(r) =0.1 时的 r 值，说明在该 r 值以内电子出现的概率是 90%。解： 2 22 1 0 0sins rP rrdrd d 222 2220 00011sinsinrrrrerdrd ddder dr 222221442rrrrrr edrr eredr 22221114222rrrrr ereedr 22221114224rrrrr eree 22221rerr根据此式列出 P(r)-r 数据表： r/a000.51.01.52.02.53.03.54.0 P(r)1.0000.9200.6770.423
12、0.2380.1250.0620.0300.014根据表中数据作出 P(r)-r 图示于图 2.7 中：由图可见：02.7ra时， 0.1P r 02.7ra时， 0.1P r 02.7ra时， 0.1P r 即在 r=2.7a0的球面之外，电子出现的概率是 10%，而在 r=2.7a0的球面以内，电子出现的概率是 90%，即：02.72 22 1 0 00sin0.90asrdrd d 0123450.00.20.40.60.81.0P(r)r/a0图图 2.7 P(r)-r 图图【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为 1/23 100exp/sar a(a)利用量子力学基本假设求该基态的
13、能量和角动量；(b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton 算符作用于 1s时，若所得结果等于一常数乘以此 1s,则该常数即氢原子的基态能量 E1s。氢原子的 Hamiltton 算符为：22 2 2 0 84heHmr 由于 1s的角度部分是常数，因而H与 ， 无关：22 2 22 01 84heHrm rrrr 将H作用于 1s，有：22 2 1122 01 84ssheHrm rrrr 22 2 1122 01 84ssherm rrrr 222 2 111222 01284sssherrm rrrr 0005711 222222 2 0122 01284rr aa shera era em rr 22 0 122 002 84shrae mrar 221222 00084she maa（r=a0） 所以221222 00084heEmaa= =-2.1810-18J也可用* 11ssEHd进行计算，所得结果与上法结果相同。注意：此式中24dr dr。将角动量平方算符作用于氢原子的 1s，有：1 2022 23 102211sin2sinsinr a shMae =01s 所以M
