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1、朱老师初二（上）数学辅导讲义- 1 -第三讲 全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180（3）OA 平分BOC变形：要点二：角平分线模型要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：（1）AFGAEG （2）FG=GE变形：朱老师初二（上）数学辅导讲义- 2 -要点三：半角模型要点三：半角模型特点： 结论：（1）MN=BM+DN （2）CMN 的周长=2AB （3）AM、AN 分别平分BMN 和DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型要点四：
2、等腰直角三角形模型1.1.在斜边上任取一点的旋转全等在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将ABD 逆时针旋转 90，使ACMABD，从而推出ADM 为等腰直角三角形。（2）过点 C 作 BCMC，连 AM 导出上述结论2.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连 AD. （1）使 BF=AE（或 AF=CE） ，导出BDFADE（2）使EDF+BAC=180，导出BDFADE3.3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：要点五：双垂直模型要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且
3、有一组边或角相等。结论：若 AD=BD,则 BH=AC变形：1=2，则 AE=AF 1=2， BAP=DAP，则 AE=AF，APCF朱老师初二（上）数学辅导讲义- 3 -要点六：三垂直模型要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线，且有一组边。结论：（1）ABEBCD （2） ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
4、“旋转” 法构造全等三角形。3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加
5、以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。【典型例题】例例 1 1（手拉手模型）：（手拉手模型）：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ABC、CDE 是等边三角形，请你证明：。（1）AD=BE （2）ACB=AOB （3）PCQ 为等边三角形 （4）PQAE 朱老师初二（上）数学辅导讲义- 4 -（5）AP=BQ （6）CO 平分AOE （7）OA=OB+OC （8）OE=OC+
6、OD例例 2 2（角平分线模型）：（角平分线模型）：如图，已知1=2，3=4，求证：AP 平分BAC。举一反三：举一反三：1、如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分 BAC，求证A+C=1802、如图，在ABC 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证：3、ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。例例 3 3（半角模型）：（半角模型）：在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN=BM +DN，求证：MAN=45；
7、CMN 的周长=2AB；AM、AN 分别平分BMN 和DNM举一反三：举一反三：1、 在正方形 ABCD 中，已知MAN=45，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动：试探究线段 MN、BM 、DN 之间的数量关系；求证：AB=AH. 朱老师初二（上）数学辅导讲义- 5 -2、在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 且上，满足 EF=BE+DF.求证：例例 4 4（等腰直角三角形模型）（等腰直角三角形模型）： 等腰直角ABC 中，BAC=90，点 M、N 在斜边 BC 上滑动，且MAN=45，试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系。举一
8、反三：举一反三：1、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC，试判断EMC 的形状，并证明你的结论。2.如图，在等腰直角ABC 中，AC=BC，ACB =90，P 为ABC 内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证：BCP=15例例 5(5(双垂线模型双垂线模型) )：如右图，ABC 中，ABC =45，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线段 BH 的长度为 。举一反三：举一反三：1、如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线 L 上，ACBC,且 AC=BC。E
9、FP 的边 FP 也在直线 L 上，边 EF 与 AC 重合，且 EF=FP.(1)猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP、BQ，则 BQ 与 AP 满足什么样的数量关系和位置关系，请猜想并证明；（3）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-3 的位朱老师初二（上）数学辅导讲义- 6 -置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接 AP、BQ，你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？例例 6 6（三垂线模型）（三垂线模型）：如图所示，在AB
10、C 中，AB=AC，BAC =90，D 为 AC 中点，AFBD 于E，交 BC 于 F，连接 DF.求证：ADB=CDF. 举一反三：举一反三：1、 如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF.求证：ADB=CDF； BM=AF+FN2、如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF，并分别延长 BM 和 FN 交于点 P.求证：PM=PN； PBPF+AF【巩固练习】1、 如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，BC=CD， ，求证：AC 平分 BAD.朱老师初二（上）数学辅导讲义-
11、7 -2、如图,ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=CF3、如图所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。4、如图，D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。5、如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D， CE 垂直于BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。6、如图，在ABC
12、 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，且 AB=AD, 作 CMAD 的延长线与 M，求证：7、如图，在ODC 中，D=90，CE 是DCO 的角平分线，且 OECE，过点 E 作 FFOC 交 OC于点 F，猜想：线段 OD 与 EE 之间的关系，并证明 。朱老师初二（上）数学辅导讲义- 8 -8、如图， BD、C E 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 ADBD,AECE, 垂足分别是D、E，连接 DE.求证：（1）DEBC，且（2）若 BD、CE 分别是ABC 的内角平分线（如图 2） ，其他条件不变，则线段 FG 与ABC三边又有怎样的数量关系？（3）若 BD 为AB
13、C 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线（如图 3） ，则线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系？9、如图，在ABC 中，AD 是 BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小，并说明理由。10.如图，RtABC 中，AB=AC，BAC =90，O 为 BC 中点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM. （1）判断OMN 的形状，并证明你的结论. (2)当 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形 AMON 的面积如何变化？11. 在正方形 ABCD 中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE+DCF=?朱老师初二（上）数学辅导讲义- 9 -13. 如图，在ABC 中，AC=BC，ACB =2ABC，P 为ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC。求证： 2 =2114.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 上的点，且 求证：EF=BE +DF.15. 如图 ADBC，ABE 和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形 AEDF 的面积。
