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1、第二章,插值,1 引 言,一、引例,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温.,这就是本章要讨论的“插值问题”,问题驱动：汽车的刹车距离,司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹车距离以确保行车安全。,图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图,美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法就是 “2
2、秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”，这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。,假设车长为15英尺，根据这条法则可以得到如图1.1.2所示的图形，它表明该法则允许的距离间隔和速率成比例，即,。其中为比例常数,图1.1.2 “2秒法则”的几何解释,下面给出一组经测试得到关于刹车距离与速度的的较为理想的实验数据，如表1.1.1所示。要想了解刹车的距离与车速的关系，试建立适当的数学模型，预测车辆的总停止距离d（英尺）关于速度v（英里/小时）的函数，检验2秒法则与驾驶规则是否一致，并尝试寻找更
3、好的驾驶规则。,表2.1.1 刹车距离实验数据,插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。,伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了不同的解决方法。,二、插值问题的定义,当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间,这个问题称为“插值问题”,(2.1.1),近似函数 g(x) f(x)，满足条件,由此构造一个简单易算的,上一系列节点 处测得函数值,这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。,节点 x0 xm称为插值节点,条件（2.1.1)称为插值条件， 区间 称为
4、插值区间。,插值函数的类型有很多种,最常用的插值函数是 ?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即 选取次数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得Pn (xj) = yj (j = 0, 1 n) (2.1.2),本章主要讨论的内容,插值问题,插值法,插值函数,2 代 数 插 值,代数插值,一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计？,一、插值多项式的存在唯一性：,设所要构造的插值多项式为：,由插值条件,得到如下线性代数方程组：,（2.2.1）,（2.2.2）,此方程组的系数行列式为,因此，Pn(x) 由a0, a1, an唯一确定
5、。,范得蒙行列式的转置！,定理,插值条件 的 n 阶插值,多项式Pn(x)存在且唯一。,插值多项式的构造：,插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。,如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？,对于给定的互异节点 x0 xn, 满足,，,用于插值的简单函数元素集 + 线性组合结构 插值多项式,简单函数元素集是指构成多项式的基函数集合，例如 自然形式（2.2.1）的自然基底 ,、,、,(结构),(集合),若求自然形式(2.2.1)的插值多项式问题，只要求 解线性方程组（2.2.2）计算出多项式系数即可。,一般插值多项式的构造方法,通过解方程组(2.2.2
6、)求得插值多项式 的方法,并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量,较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大,（可能是病态方程组）,当阶数n越高时， 病态越重。,怎样可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢?,在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数,使,不同的基函数的选取导致不同的插值方法.,Lagrange插值,Newton插值,Hermite插值,二、拉格朗日(Lagrange)插值,1线性插值 (n=1),x0,x1,(x0 ,y0),(x1 ,y1),f(x),P1(x),n = 1,已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求,l0(x),l1(x),2抛物插值(n=2),p2
7、(x) f(x),因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,3n次拉格朗日插值公式,设连续函数y = f（x）在a, b上对给定n + 1个,不同结点： x0, x1, , xn ,分别取函数值,y0, y1, , yn,其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2, n,试构造一个次数不超过n的插值多项式,使之满足条件,i = 0, 1, 2, n,若能求得n次多项式lk (x) , k = 0, 1, n，,则,i = 0, 1, 2, n,即Pn (x)满足插值条件（2.1.2）.,满足,因此，令,又由lk (xk) = 1，得：,的表达式推导：,根据lk (x)的定义，xk
8、以外所有的结点都是lk (x)的根，,从而得 n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：,4 、插值余项/* Remainder */,定理4.3.1 若,在a , b内存在, 则在a , b上的,n+1个互异的点，对 f（x) 所作的n次Lagrange插值多项式 有误差估计,也称为Lagrange插值多项式的插值余项。,当n = 1时，线性插值的余项,当n = 2时，抛物插值的余项,注： 通常不能确定 , 而是估计 , x(a,b)，将 作为误差估计上限。,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式 时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,插值多项式一般仅用来估计插
9、值区间内点的函 数值（即内插），用它来计算插值区间外点的函 数值（即外插）时，误差可能很大。,通常取,依靠增加节点不一定能减少误差；,事后误差估计,一般可使用求出两个插值多项式之差的方法来估计误差， 称之为事后估计。,图2.1 前后两组插值节点的划分,插值余项可表示成,取n +2个节点,分别用前n +1个节点和后n +1个节点,和,，如图2.1所示,构造n次插值多项式,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,利用,计算得：sin 50 0.76008,sin 50 = 0.7660444,利用x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001,利用x1, x2
10、作为插值节点的实际误差 0.00596,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,三、牛顿插值（Newtons Interpolation ）,Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数li(x) 都需要重新计算。,希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。,1、,能否重新在 中寻找新的 基函数 ？,回顾：Lagrange 插值的优缺点：优点：具有严格的规律性,便于记忆。缺点：计算量大、不具有承袭性。,利用插值条件 代入上式，得关于 的线性代数方程组:,设,当 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解,How complex the
11、expression are!,2差商,2.1 差商的定义(亦称均差),定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列,的值 f(xi) , 称,为f (x)在点xi , xj处的一阶差商，并记作f xi , xj，,互不相等的 （即在 时， ）,又称,为f (x)在点xi, xj, xk处的二阶差商,称,为f (x)在点x0, x1, xk处的k阶差商。,由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。,利用插值条件和差商的定义,可求出 的系数 :,从而,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。,2.2 差商的性质:,性质1(差商与函数值的关系
12、):记 ,则,性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关，即,性质3 (差商与导数的关系):,设 在 上有 阶导数,且,则存在 使得,性质4 (特征定理):,差商可列表计算：,f (x0) f (x1) f (x2) f (xn1) f (xn),f x0, x1 f x1, x2 f xn1, xn,f x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xn,f x0, , xn,xi,yi,一阶差商,二阶差商,n 阶差商, ,xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1,2.3 差商的计算:,3.牛顿
13、差值余项,由插值多项式的唯一性可知 ，故其余项也相同，即,定理： Newton插值多项式的余项为,其中,例: 给定 的数据表2.20 2.40 2.60 2.80 3.000.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式,解:构造差商表,一阶差商,二阶差商,三阶差商,四阶差商,四、等距节点插值,1引入(微商的离散化),2差分的定义,设函数 在等距节点 上的,值 为已知,这里 为常数,称为步长.,定义: 偏差,分别称为 在 处以 为步长的向前差分, 向后差分,以及中心差分.,3、差分表,计算各阶差分可按如
14、下差分表进行：,4、差分的性质,性质1 (差分与函数值的关系): 各阶差分均可表示 为函数值的线性组合:,其中，,性质2 (前差与后差的关系):,性质3 (多项式的差分): 若 f(x)Pn (n次多项式类), 则,性质4 (差分与差商的关系): 在等距节点的前提下，,性质5 (差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，,性质6：常数的差分等于零.,性质7：差分算子为线性算子，即,性质8：,这个性质类比于,性质9：,（类比于分部积分法则 ）,5、等距节点的牛顿插值公式,牛顿公式:, 牛顿前插公式,利用差分的性质, 可将Newton公式简化为,(1),称公式(1)为Newton向前差分插值公式,其余项为,(2), 牛顿后插公式,如果将Newton插值公式改为按节点 的,(3),次序排列的Newton插值公式,即,令x=xn-th, 则当x0xxn时,0tn. 利用差商与 向后差分的关系, 式(3)可简化为,(4),称式(4)为Newton向后差分插值公式。,
