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1、数列模块小结数列模块小结1，数列是特殊的函数，；( )naf n11,1 ,2n nnSnaSSn2等差数列的定义及性质（1），；1nnaad11()(1)()nmaanm danddnad（2）；21 11()(1)()2222n nn aan nddSnadnan（3）若，则；若，则；mnpqmnpqaaaa2mnp2mnpaaa（4）若是等差数列，则，仍成等差数列，公差为； nakkkkkSSSSS232,2k d（5）若是等差数列，则也是等差数列，公差为； nanS n2d（6）若是等差数列，则，. na21(21)nnSna2121nnnnSa Tb3等比数列的定义及性质（1）， ；
2、1nnaqa11 1nn mn nmaaa qa qqq（2） ；11111,1(1),11111n nnnnaqSaa qaqaaqqqqqq （3）若，则；若，则；qpnmmnpqa aa a2mnp2 mnpa aa（4）；22 11,nnnGabGabaaa （5）若是等比数列，则，仍成等比数列（或 nakkkkkSSSSS232,1q 为奇数） ， （当时，若为偶数，则不为等比数列）. k1q k4数列求和的方法（1）公式法：，22221123(1)(21)6nn nn；3333221123(1)4nnn（2）错位相减法：适用于通项由等差和等比相应项的乘积构成的数列求和；（3）裂项相
3、消法：（为公差为的等差数列） ，111111nnnna adaa nad， ，1111 21212 2121nnnn11ababab，； 1111 122112n nnn nnn111nnknkn （4）分组求和法； （5）倒序相加法；5.由递推公式求通项公式（1），由得（叠加）1( )nnaaf n112211()()()nnnnnaaaaaaaa；（2），由可得（迭乘法） ；1( )nnag na12 1 121nn n nnaaaaaaaa（3），由可得（同化） ；()nnSf a11,1,2n nnSnaSSn（4），由构造等比数列求得；1nnapaq1()11nnqqap app（5
4、），两边同除可以转化为（4）处理；1n nnaparqnq（6），由可以求得；1nnapaqnr1(1)nnaxnyp ax ny（7），两边取倒数可以转化；1n n npaaqar（8），若，则可取求得；若，则可取求得；1r nnapa1p lg1p logp（9），两边同除以可以求得；11nnnnapaqa a1nna a（10），由可以求得；11nnnapaqa11()nnnnaxay axa（11）奇偶项，如； （12）周期数列.1n nnaapq数列习题（一）数列习题（一）1.如果等差数列中，那么（ ） na34512aaa127aaaA14 B21 C28 D35解析：选 C. 2
5、设为等比数列的前项和，已知，则公比（ nS nan3432Sa2332Saq ）A3 B4 C5 D6解析：选 B. 两式相减得， 34343344.aaaaaq3设为等比数列的前项和，则（ ）nS nan2580aa52S SA11 B5 C8 D11解析：选 D. 由3 252280802.aaaa qq 4.已知是首项为 1 的等比数列，是的前项和，且，则数列 nanS nan369SS的前 5 项和为（ ）1naA或 5 B或 5 C D15 831 1631 1615 8解析：选 C.显然，所以是首1q 36 39(1)119211qqqqqq 1na项为 1，公比为的等比数列， 前
6、 5 项和1 2531. 16T 5.设为等差数列的前项和，若，则 .nS nan363,24SS9a 解析：填 15. 依题设求出1, .a d6已知数列满足，则的最小值为_. na1133,2nnaaanna n解析：填 由叠加法得，21. 2233331n naannnnn构造函数，由单调性知，在上增，在上减，33( )1f nnn( )f n( 33,)(0, 33)当5 或 6 时有最小值，又n ( )f n565321,.5562aa7已知数列满足：， na* 434121,0,nnnnaaaanN则 ， .2009a2014a解析：填 1，0. 考查周期数列， 20094 503
7、 320142 100710074 252 11,0.aaaaaa8.已知数列的前项和为，且 nannS*585,.nnSnanN（1）证明：是等比数列；1na （2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. nS1nnSSn解析：（1）当时，；当时，1n 114a 2n ,11155511(1)6nnnnnnnaSSaaaa 又，是等比数列.11150a 1na（2）由（1）知：11*55115 ( )75 ( )90()66nn nnaSnnN 由得，最小正整数1nnSS1 5 6522( )log114.96525nn 15.n 9.已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列. na
8、11a 139,a a a（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. na 2nannS解析：（1）由题设知公差，依题意，0d 2(12 )181ddd .nan（2）由（1）知，22nan122.n nS10.已知是首项为 19，公差为的等差数列，nS为 na的前n项和. na2（1）求通项及；nanS（2）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前nnba nb项和.nnT解析：（1）依题意，2221,20 .nnanSnn （2），13221n nbn1231(133)20.2n n nnTSnn 数列习题（一）数列习题（一）1.如果等差数列中，那么（ ） na3
9、4512aaa127aaaA14 B21 C28 D352设为等比数列的前项和，已知，则公比（ nS nan3432Sa2332Saq ）A3 B4 C5 D63设为等比数列的前项和，则（ ）nS nan2580aa52S SA11 B5 C8 D114.已知是首项为 1 的等比数列，是的前项和，且，则数列 nanS nan369SS的前 5 项和为（ ）1naA或 5 B或 5 C D15 831 1631 1615 85.设为等差数列的前项和，若，则 .nS nan363,24SS9a 6已知数列 na满足1133,2 ,nnaaan则na n的最小值为_.7已知数列满足：， na* 43
10、4121,0,nnnnaaaanN则 ， .2009a2014a8.已知数列的前项和为，且 nannS*585,.nnSnanN（1）证明：是等比数列；1na （2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. nS1nnSSn9.已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列. na11a 139,a a a（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. na 2nannS10.已知是首项为 19，公差为的等差数列，nS为 na的前n项和. na2（1）求通项及；nanS（2）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前nnba nb项和.nnT数列习题（二）数列习题（二）1.
11、已知各项均为正数的等比数列，则（ na1235a a a 78910a a a 456a a a ）A5 2 B7 C 6 D 4 2解析：选 A，63 12378955505 2.a a a a a aaa2已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ na1321,22aaa91078aa aa）ABCD121232 232 2解析：22910 312 782121232 2.aaaaaqqqqaa 3.设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时， nannS14611,6aaa nS等于（ ）n A6 B7 C8 D9解析：.22,S126ndnnn4已知等比数列满足，且，则当时， n
12、a0,1,2,nan2 5252 (3)n naan1n （ ）2123221logloglognaaaA B C D (21)nn 2(1)n 2n2(1)n 解析：222 212212 ,02loglog.nn nnnnaaaaan5设等差数列的前项和为，若，则 . nannS972S 249aaa解析： 955249159598324.Saaaaaaaaa6等差数列的前项和为，且，则 . nannS53655SS4a 解析：5314416515(3 )15.3SSadaa7.设，则数列的通项公式 .* 11222,11n nn nnaaabnNaa nbnb 解析：11 124 22.nn nnnbbb 8设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足1,a d1ad
