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1、数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义定义：1nnaad（d为常数），11naand，推论公式：= + ( )(, ， )等差中项等差中项：xAy，成等差数列2Axy,= 1+ + 12,2= 1+ + 1( 2)等差数列前等差数列前n项和：项和：1 11 22n naann nSnad性质性质： na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列仍为等差数列，232nnnnnSSSSS， 仍为等差数列，公差为； 12212,nnnaaadn2（3）若三个成等差数列，可设为adaad，；（4）若
2、nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaS bT；（5） na为等差数列2 nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2 nSanbn的最值；或者求出 na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa 可得nS达到最大值时的n值. 当100ad，由100nnaa 可得nS达到最小值时的n值. (6)项数为偶数的等差数列 na，有n2),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS， .ndSS奇偶 1nn aa SS偶奇（7）项数为奇数的等差数列 na，有,12 n)() 1
3、2(12为中间项nnnaanS， .naSS偶奇1nn SS偶奇2. 等比数列的定义与性质定义定义：1nnaqa（q为常数，0q ），1 1n naa q.推论公式：= (, 且 )等比中项：等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy .等比数列中奇数项同号，偶数项同号2= 1 + 1( 2)等比数列前等比数列前 n 项和公式项和公式： =1( = 1)1(1 )1 =1 1 ( 1)?性质性质： na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。（2）232nnnnnSSSSS， 仍为等比数列,公比为。nq. （3） na是正项等比数列，则
4、 是等比数列。注意注意：由nS求na时应注意什么？1n 时，11aS；2n 时，1nnnaSS.3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知已知nS或或，求求na。 的关系与n的关系时与nnas )2() 1(11 nssnsannn例：例： 数列的前项和求数列的通项公式;解：当时 ，当时 数列的通项公式为练习：练习：设数列的前项和为，且求数列的通项公式。 （3）求差（商）法）求差（商）法例：数列 na，12211125222nnaaan ，求na解：1n 时，112 1 52a ，114a 12211125222nnaaan 2
5、n 时， 1212111121 5222nnaaan 得：122nna ，12nna，114(1)2(2)nnnan练习：在数列中，, 求数列的通项公式。1= 11+222+332+ +2= ( )(4)累乘法累乘法 形如的递推式 + 1= ()由，则1( )nnaf na31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1 1 11( )n nkaaf ka例：例：数列 na中，1 131nnanaan，求na解解 321211 21 2 3nnaaan aaan ，11na an又13a ，3nan .练习：练习：已知, 求数列的通项公式。1= 3, + 1=3 1
6、3 + 2( 1)（5）累加法）累加法形如 的递推式。 + 1 = ()由110( )nnaaf naa，求na，用迭加法2n 时，21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)( )naafff n 0(2)(3)( )naafff n 例：例：已知数列满足,1= 1,= 1+ 3 2( 2) (1)求2与3的值。（2）求数列的通项公式练习练习：已知数列中， ，（）求数列的通项公式；（6）构造法）构造法形如1nnacad（cd、为常数，010ccd，）的递推式。可转化为等比数列，设111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项
7、为11dacc，为公比的等比数列1 111n nddaaccc，1 111n nddaaccc例例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解：（ 1）， 而，故数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，因此练习练习 1：，求数列的通项公式。已知数列中1=1 2, + 1= 3+ 3 na练习练习 2：已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na（7）倒数法）倒数法例：例：11212n n naaaa，求na由已知得：12111 22nnnna aaa，1111 2nnaa1na为等差数列，111a，公差为1 2，11111122nnna ， 2 1nan练习：练习：已
8、知数列的首项，。1= 1 + 1=+ 2( )求数列的通项公式。总结：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或1(2)1(1)nnSSnS n na 1nnapaq、待定系数法、对数变换法、迭代法。1( )nnapaf n4. 求数列前 n 项和的常用方法（1 1）定义法）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前等差数列前n项和：项和：1 11 22n naann nSnad等比数列前等比数列前 n 项和公式项和公式： =1( = 1)1(1 )1 =1 1 ( 1)?常见公式： = = 1 =12( + 1)1 + 3 + 5 + + (2 1) = 2,
9、12+ 22+ 32+ + 2=16( + 1)(2 + 1)13+ 23+ 33+ + 3=14( + 1)2（2）错位相减法）错位相减法给两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对= 1+ 2+ 3+ + 应项互相抵消，最后得出前 n 项的和.一般适用于 na为等差数列， nb为等比数列，求数列nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为 nb的公比. 例例：2311234n nSxxxnx 23412341nn nx Sxxxxnxnx 2111nn nx Sxxxnx 1x 时， 2111nnnxnxSxx，1x 时，11232nn nSn 练习
10、练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且， （1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和(2) 裂项法裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若 na是公差为d的等差数列，则1 + 1=1 (1 1 + 1) 1 (2 1)(2 + 1)=1 2(1 2 11 2 + 1)1 ( + 1)( + 2)=1 2(1 ( + 1)1 ( + 1)( + 2)1 +=1 ( ) 1 + +=1 ( + )如： na是公差为d的等差数列，求111nkkka a解：解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa1111122311111
11、1111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa 11111ndaa练习：练习：已知数列的前 n 项和，求数列的通项公式； 求数列的前 n 项和。（3）倒序相加法）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121nnnnnnSaaaaSaaaa 相加 12112nnnnSaaaaaa练习已知22( )1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)234fffffff由22222221 11( )111111xxxf xfxxxxx原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff （3）分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于 na为等差数列， nb为等比数列，求数列前n项和。+ 练习：已知数列 na为等差数列，公差为 d， nb为等比数列，公比为 q，且 d=q=2，,3+ 1 = 10= 5 = 2 求的通项公式， 求+ 的前项和。
