《数二真题(2003-2005-2007-2009》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数二真题(2003-2005-2007-2009（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题数学二试题一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数，则（ ） 3sinxxf xnx1.2. 3.无穷多个. A B C D（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）0x sinf xxax 2ln 1g xxbx A11,6ab B11,6ab C11,6ab D11,6ab （3）
2、设函数的全微分为，则点（ ）,zf x ydzxdxydy0,0不是的连续点.不是的极值点. A,f x y B,f x y是的极大值点. 是的极小值点. C,f x y D,f x y（4）设函数连续，则（ ）,f x y222411,yxydxf x y dydyf x y dx. . A2411,xdxf x y dy B241,xxdxf x y dy C2411,ydyf x y dx D221, ydyf x y dx（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间 fx yf x 1,1222xy f x内（ ）1,2有极值点，无零点.无极值点，有零点. A B有极值点，有零点.
3、无极值点，无零点. C D（6）设函数在区间上的图形为： yf x1,32则函数的图形为（ ） 0xF xf t dt A( )f x023x1-2-11 B( )f x023x1-2-11 C( )f x023x1-11 D( )f x023x1-2-11（7）设、均为 2 阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵AB*AB，ABA =2 B =3，的伴随矩阵为（ ）00AB A*03 20B A B*02B3A0 1( )f x-2023x-1O3 C*03A2B0 D*02A3B0 （8）设均为 3 阶矩阵，为的转置矩阵，且，若AP，TPPT100 P AP= 010 002 ，则为（
4、 ）P=Q=+1231223（，），（，）Q AQT A210 110 002 B110 120 002 C200 010 002 D100 020 002 二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 2221-x=0 ln(2)uteduytt （0，0）（10）已知,则 +1k xedxk （11） n1limesin0xnxdx（12）设是由方程确定的隐函数，则 ( )yy xxy1yex2x=0d y=dx2（13）函数在区间上的最小值为 2xyx01
5、，(14)设为 3 维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 ，TT200000 000 T= 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤.4（15） （本题满分 9 分）求极限401 cosln(1tan )limsinxxxxx（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 1ln(1)xdxx(0)x （17） （本题满分 10 分）设，其中具有 2 阶连续偏导数，求与,zf xy xy xyfdz2zx y （18） （本题满分 10
6、 分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线 yy x0x 20xyy yy x及围成平面区域的面积为 2，求绕轴旋转所得旋转体体积。1x 0y DDy5（19） （本题满分 10 分）求二重积分，Dxy dxdy其中22,112,Dx yxyyx（20） （本题满分 12 分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都( )yy x-（，）-22（，）-0x过原点，当时，函数满足。求的表达式0x( )y x0yyx( )y x（21） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得 f x, a b, a b, a b（）证明：若函数
7、在处连续，在内可导， f bf afba f x0x 0,0且，则存在，且。 0lim xfxA 0f 0fA6（22） （本题满分 11 分）设，111111042A 1112 （）求满足的所有向量2 2131,AA23, （）对（）中的任一向量，证明：线性无关。23, 123, （23） （本题满分 11 分）设二次型222 1231231323,122f x x xaxaxaxx xx x（）求二次型的矩阵的所有特征值；f（）若二次型的规范形为，求的值。f22 12yya72008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题数学二试题一、选择题：一、选择题：18
8、小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（ ）2( )(1)(2)f xxxx( )fx0 1. 2 3 A B C D（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）( )yf x0, a 0( )atafx dx曲边梯形 ABOD 面积. A梯形 ABOD 面积. B曲边三角形面积. CACD三角形面积. DACD（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ 123cos
9、2sin2xyC eCxCx123,C C C） A440yyyy B440yyyy C440yyyy D440yyyy（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）( )f x(,) nx若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. A nx()nf x B nx()nf x若收敛，则收敛.若单调，则收敛. C()nf x nx D()nf x nx（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则f2222()( , )uvDf xyF u vdxdy xy uvDF u A2()vf u B2()vf uu C( )vf u D( )vf uu8（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则
10、（ ）AnEn30A 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. AEAEA BEAEA可逆，可逆. 可逆，不可逆. CEAEA DEAEA（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）12 21AA A21 12 B2112 . . C21 12 D12 21 二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 已知函数连续，且，则.( )f x201 cos( )lim1 (1) ( )xxxf xef x (0)_f（10）微分方程的通解是.2()0xyx edxxdy_y （11）曲线在点处的切
11、线方程为. sinlnxyyxx0,1（12）曲线的拐点坐标为_.2 3(5)yxx（13）设，则.x yyzx(1,2)_z x（14）设 3 阶矩阵的特征值为.若行列式，则.A2,3,248A _三、解答题：三、解答题：1523 题，共题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分 9 分）求极限.40sinsin sinsinlim xxxxx9(16)（本题满分 10 分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.( )yy x20( )ln(1)txx ty
12、u du( )x t0200xtdxtedt x 求.22y x (17)（本题满分 9 分）求积分 .120arcsin1xxdxx(18)（本题满分 11 分）求二重积分其中max(,1),Dxydxdy( , ) 02,02Dx yxy10(19)（本题满分 11 分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线( )f x0,(0)1f0,t，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面0,xxt( )yf xxx积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数的表达式.( )f x(20)（本题满分 11 分）(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，
13、则至少存在一点，使得( )f x , a b , a b(2)若函数具有二阶导数，且满足，证( )( )()baf x dxfba( )x32(2)(1), (2)( )x dx明至少存在一点(1,3),( )0 使得（21） （本题满分 11 分）求函数在约束条件和下的最大值与最小值.222uxyz22zxy4xyz11（22） （本题满分 12 分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，2221212n naaaAaa AAXB1,T nXxx，1,0,0B （1）求证；1nAna（2）为何值，方程组有唯一解，并求；a1x（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.a（ 23） （本题满分 10 分）设为 3 阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，A12, A1,13323A（1）证明线性无
