平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析

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1、平面直角坐标系找规律题型解析平面直角坐标系找规律题型解析1 1、如图，正方形 ABCD 的顶点分别为 A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点 P(0，2)。作点 P 关于点 A 的对称点 p1，作 p1 关于点 B 的对称点 p2，作点 p2 关于点C 的对称点 p3，作 p3 关于点 D 的对称点 p4，作点 p4 关于点 A 的对称点 p5，作 p5 关于点 B的对称点 p6，按如此操作下去，则点 p2011 的坐标是多少？ 解法 1：对称点 P1、P2、P3、P4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 P1，P2，P3，P4 组成。第

2、 1 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 2 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 3 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第 n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)20114=5023，所以点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同，为（2，0）解法 2：根据题意，P1（2，0） P2（0，2） P3（2，0） P4（0，2）。根据 p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n（0，2），P4n+1（

3、2，0），P4n+2（0，2），P4n+3（2，0）。20114=5023，所以点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同，为（2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是 p 点。2 2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位其行走路线如下图所示（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点 A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点 Am 在 x 轴上，请用含 n 的代数式表示 m（n 是正整数）（

4、4）指出蚂蚁从点 A2011 到点 A2012 的移动方向 （5）指出蚂蚁从点 A100 到点 A101 的移动方向（6）指出 A106，A201 的的坐标及方向。解法：（1）由图可知，A4，A12，A8 都在 x 轴上，小蚂蚁每次移动 1 个单位， OA4=2，OA8=4，OA12=6，A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n2=2n，点 A4n 的坐标（2n，0）；（3）只有下标为 4 的倍数或比 4n 小 1 的数在 x 轴上，O1A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12xy点 Am 在 x 轴上，用含

5、n 的代数式表示为：m=4n 或 m=4n-1；（4）20114=5023，从点 A2011 到点 A2012 的移动方向与从点 A3 到 A4 的方向一致，为向右（5）点 A100 中的 n 正好是 4 的倍数，所以点 A100 和 A101 的坐标分别是A100（50，0）和 A101（50，1），所以蚂蚁从点 A100 到 A101 的移动方向是从下向上。（6）方法 1：点 A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第 2 周期点的坐

6、标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第 3 周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)第 n 周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)1064=262，所以点 A106 坐标与第 27 周期点 A2 坐标相同,(227-1,1)，即(53,1)方向朝下。 2014=501，所以点 A201 坐标与第 51 周期点 A1 坐标相同,(251-2,1)，即(100,1)方向朝右。方法 2：由图示可知，在 x 轴上的点 A 的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，

7、箭头朝上。106=104+2，即点 A104 再移动两个单位后到达点 A106，A104 的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以 A106 的坐标为（53，1），方向朝下。同理：201=200+1，即点 A200 再移动一个单位后到达点 A201，A200 的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以 A201 的坐标为（100，1），方向朝右。3 3、一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳动一个单位，那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第 42、49、

8、2011 秒所在点的坐标及方向？解法 1：到达（1，1）点需要 2 秒到达（2，2）点需要 2+4 秒到达（3，3）点需要 2+4+6 秒到达（n，n）点需要 2+4+6+.+2n 秒n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。35=56+5，所以第 5*6=30 秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过 5 秒正好到（5,0）即第 35 秒在（5，0）处，方向向右。42=67，所以第 67=42 秒在（6，6）处，方向向左49=67+7，所以第 67=42 秒在（6，6）处，再向左移动 6 秒，向上移动一秒到（0，7）即第 49 秒在（0，7）处，

9、方向向右解法 2：根据图形可以找到如下规律，当 n 为奇数是 n2秒处在（0，n）处，且方向指向右； 当 n 为偶数时 n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第 35 秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第 42、49、2011 处的坐标及方向。4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 x 轴或 y 轴平行从内到外，它们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，表示，顶点 A55 的坐标是（ ）解法 1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象，点

10、A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)第 2 周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)第 3 周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)第 n 周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)554=133，A55 坐标与第 14 周期点 A3 坐标相同,(14,14)，在同一象限 解

11、法 2：55=413+3，A55 与 A3 在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=41-1，A3 的坐标为（1，1）， 7=42-1，A7 的坐标为（2，2），11=43-1，A11 的坐标为（3，3）； 55=414-1，A55（14，14）5 5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，n），如 f（2，1）=（2，1）；（2）g（m，n）=（m，n），如 g（2，1）=（2，1）按照以上变换有：fg（3，4）=f(3,4)=（3，4），那么 gf（3，2）等于（ ）解：f（3，2）=（3，2），gf（3，2）=g（3

12、，2）=（3，2），6 6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（a，b）如：f（1，3）=（1，3）；2、g（a，b）=（b，a）如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（a，b）如：h（1，3）=（1，3）按照以上变换有：f(g(2,3)=f(-3，2）=(3,2)，那么 f(h(5,-3)等于（ ）（5，3） 7、一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM 的中点 M3 处，第二次从 M3 跳到 OM3 的中点 M2 处，第三次从点 M2 跳到 OM2 的中点 M1 处，如此不断跳 动下去，则第

13、 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为（ ）解：由于 OM=1， 所有第一次跳动到 OM 的中点 M3 处时，OM3=OM= ，同理第二次从 M3点跳动到 M2 处，即在离原点的2处，同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的处8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中 “”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根 据这个规律，第 2012 个点的横坐标为（ ） 45 解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个，1=12，右下角的点的横坐标

14、为 2 时，共有 4 个，4=22， 右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个，9=32， 右下角的点的横坐标为 4 时，共有 16 个，16=42， 右下角的点的横坐标为 n 时，共有 n2 个， 452=2025，45 是奇数，第 2025 个点是（45，0），第 2012 个点是（45，13），9、（2007遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探究可得，第 88 个点的坐标为 （ ） 解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。坐标系

15、中的点有规律的按列排列，第 1 列有 1 个点，第 2 列有 2 个点，第 3 列有 3 个点第 n 列有 n 个点。1+2+3+4+12=78，第 78 个点在第 12 列上，箭头常上。88=78+10，从第 78 个点开始再经过 10 个点，就是第 88 个点的坐标在第 13 列上，坐标为（13，13-10），即第 88 个点的坐标是（13，3） 10、如图，已知 Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1）， A5（2，1），则点 A2007 的坐标为 （ ） 解法 1：观察图象，点 A1、A2、A3、A4 每 4 个点，图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1，A2，A3，A4 组成。第 1 周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)第 2 周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)第 3 周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)第 n 周期点的坐标为：A1(n,-(n-1)， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)因为 20074=5013，所以 A2007 的坐标与第 502 周期的点 A3 的坐标相同，即