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1、1,第七章,随机有限元法,2,目 录,7.1 概述 7.2 摄动随机有限元法 7.3 纽曼（Neumann）随机有限元法 7.4 验算点展开随机有限元法 7.5 蒙特卡罗随机有限元法,3,7.1 概述,在各类工程结构中，存在着很多不确定 性因素的影响。这些因素可以采用随机变 量、随机过程或随机场来描述。随机分析理 论与传统的有限元法相结合而产生的随机有 限元法，是分析结构可靠性的最有效的方法 之一。,4,根据对结构进行随机分析的方法与手段不同，随机有限元法可分为两类：一类是统计的方法，就是通过大量的随机抽样，对结构反复进行有限元计算，将得到的结果作统计分析，得到该结构的失效概率或可靠度，这种方
2、法称为蒙特卡罗(Monte Carlo) 随机有限元法。Monte Carlo 随机有限元法需要进行大量的模拟计算，工作量很大。,概述,5,另一类是分析的方法，就是以数学、力学 分析作为工具，找出结构系统（确定的或 随机的）的响应与输入信号（确定的或随 机的）之间的关系，并据此得到结构内 力、应力或位移的统计规律，得到结构的 失效概率或可靠度。,概述,6,按照随机分析的目的与结果不同，可分为两种。一种是分析结构响应的统计特性及其分布规律，如摄动随机有限元法（PSFEM）、纽曼（Neumann）随机有限元法等；另一种是直接分析结构的可靠度或失效概率，如验算点展开随机有限元法等。,概述,返回目录,
3、7,7.2摄动随机有限元法,设有限元位移法的支配方程为：,(7-1),式中为K劲度矩阵，为结点位移向量，F为结点荷载向量。若材料特性、所受荷载或几何现状有一微小扰动，则结点位移对此将产生扰动响应。,8,设结构的某一参数Z为随机摄动量，则摄动量Z可以表示为确定部分和随机部分之和，即：,(7-2),式中Z0为均值；是均值为零的随机量，它反映了参数Z的随机性。,摄动随机有限元法,9,采用摄动随机有限元法分析结构的可靠度，可以在均值点进行泰勒级数展开，并取至二次项，得到：,(7-3),(7-4),(7-5),摄动随机有限元法,10,式中K0、F0、0分别为K、F、在各随机变量均值点的值， 为随机变量X
4、i在均值点mXi处的微小摄动量。,将式(7-3)、(7-4)、(7-5)代入支配方程(7-1), 根据二阶摄动法得到如下方程：,(7-6),(7-7),摄动随机有限元法,11,(7-8),若取式(7-5)的线性项分析，可得结点位移一阶近似的均值和协方差为：,(7-9),摄动随机有限元法,12,(7-10),在式(7-5)中保留二次项，可得结点位移二阶近似的均值和协方差为：,(7-11),摄动随机有限元法,13,(7-12),摄动随机有限元法,14,摄动随机有限元法是通过随机变量在其均值附近产生的随机扰动，得到结构位移响应的均值和协方差。因此概念明确，方法清楚。又因为是用泰勒级数将随机函数展开，
5、故可根据对问题的精度要求取舍非线性项，所以该方法应用较广。,摄动随机有限元法,15,应用摄动随机有限元法分析工程实际 问题，由式(7-6)求得确定性位移0以后， 再求解式(7-7)中的n阶线性方程组和式(7-8) 中的n2阶的线性方程组，得到结点位移对 各随机变量的一阶、二阶偏导数，然后代 入式(7-11)和式(7-12)求得位移的均值和方 差。,摄动随机有限元法,16,注意到各线性方程组中的系数矩阵 均相同，因此求解上述递归方差组的计算工作 量并不是很大。显然，采用一阶近似的方法计 算响应的均值和协方差比较简单，计算效率也 高，但要求摄动量是微小的（一般不超过均值 的20%或30%），否则，
6、得到的结果误差较大。,摄动随机有限元法,17,二阶近似得到的结果精度较高，对摄 动量的要求亦可适当放宽，特别是对于非 线性问题，能够得到较好的结果，但是二 阶近似算法的公式复杂，对于随机变量较 多的情况，计算效率较低，使这一算法的 实际应用受到影响。,摄动随机有限元法,返回目录,18,7.3 纽曼（Neumann）随机有限元法,Neumann随机有限元法是将Neumann级数展开式与随机有限元相结合而形成的一种方法。Neumann级数展开式的形式如下：,(7-13),式中I为恒同算子，T为 的线性算子。,19,对于有限元支配方程K= F ，不妨设荷载F为确定性量。设劲度矩阵K可表示为 ，则 ，
7、将其展开为Neumann级数得：,(7-14),式中K0为随机变量均值处的劲度矩阵， 为劲度矩阵K0在附近的波动量，,纽曼随机有限元法,20,由于F为确定性量，所以有,(7-15),将式(7-14)、(7-15)代入支配方程(7-1)可得：,(7-16),纽曼随机有限元法,21,令 ，式(7-16)即为：,(7-17),于是可得如下的递推公式：,(7-18),由式(7-15)求出0以后，即可由式(7-18)求得 。,纽曼随机有限元法,22,Neumann级数展开式与Monte Carlo法结合，求解结构由于材料特性参数随 机场扰动而产生的随机响应问题，应首 先将随机场离散为一组随机向量，然后
8、用Monte Carlo法得到该随机向量的抽样 值，再由Neumann随机有限元的递推公 式得到结构的响应量及其统计特性。,纽曼随机有限元法,23,Neumann随机有限元法由于采用了 Monte Carlo 模拟技术，因此不受随机变 量变异性的限制；又因为Neumann级数展 开式可取至二阶以上的高阶项，所以计算 精度可得到满足。,纽曼随机有限元法,返回目录,24,7.4 验算点展开随机有限元法,摄动随机有限元法和Neumann随机有 限元法主要是分析结构响应的统计特性， 据此了解在荷载、材料参数以及几何尺寸 等随机变量的作用下，结构所处的工作状 态，判断结构的安全性或可靠性。,25,在工程
9、实际中，为了与工程设计的要求相对应、与工程结构的可靠性评价相结合，人们希望通过对结构的随机有限元分析而直接得到结构的安全度或可靠度水平。Der Kiureghian Armen 和 Ke Jyh-Bin于1985年首次将结构可靠度分析的梯度优化法与有限元法相结合，得出了平面刚架构件的可靠度。我国的一些学者将这一方法推广到二维、三维块体结构，并进一步研究了动力可靠度问题和考虑随机场、材料非线性性质的随机有限元计算问题。,验算点展开随机有限元法,26,设已知结构可靠度分析中的一组基本随机变量 ,则描述结构的功能函数为 ，相应的极限状态方程为g(X)=0。基本随机变量 可以是荷载、几何尺寸、材料特性
10、参数等。结构的功能函数建立在结构的力学特性上，通常用一组表示强度的变量 和表示荷载效应的变量 做成数学式子，这些变量可以是应力、位移等。,验算点展开随机有限元法,27,于是结构功能函数g(X)可改写为g(R,S)。 g(R,S)0则表示结构处于安全状态。,设基本变量 为相互独立的正态变量，通过变换,(7-19),验算点展开随机有限元法,28,可以得到一组相互独立的标准正态变量Y=(Y1,Y2,Yn)，于是结构功能函数可转换到标准正态变量空间，即,(7-20),采用迭代的方法可以确定极限状态面G(Y)=0上距原点最近的点Y* ，然后按照如下公式计算结构的可靠指标：,(7-21),验算点展开随机有
11、限元法,29,确定结构的失效概率。,在采用迭代格式,(7-23),确定设计验算点Y*时，关键的问题是计算梯度向量 ，即,(7-24),验算点展开随机有限元法,30,式(723) 中的是沿着负梯度方向的单位向量：,该向量垂直于极限状态面，其指向背离原点。经过几个循环的迭代计算，序列Yi便逐渐收敛于极限状态面上距原点最近的点（即设计验算点）Y*。,(7-25),验算点展开随机有限元法,31,在随机有限元的分析过程中，由于结构功能函数G(Y)（常以位移、应力或应变表示）的显式无法得到，所以梯度向量 可由下式计算：,(7-26),式中：T为变换矩阵； ， 和 分别为结构功能函数对于X、R和S的梯度向量
12、；,验算点展开随机有限元法,32,和 分别是变换R=R(X)和 S=S(X)的雅各宾矩阵。通常计算 、和JR很容易，而计算JS则较困难， 对于线性结构，可用下面给出的方法计算雅 各宾矩阵JS。 设有限元的支配方程为：K = F (7-27),验算点展开随机有限元法,33,式中K为整体劲度矩阵，F为整体结点荷载向量，为整体结点位移向量，它们都是基本变量X的函数。将荷载效应S用位移向量表示，即,式中Q是位移对于荷载效应的转换矩阵，S0是0时的荷载效应向量，它们可以是确定的常数或随机变量X的函数。,(7-28),验算点展开随机有限元法,34,例如，当结构的功能函数用结点位移表示时，Q和S0为常数向量
13、，而当结构的功能函数用单元应力表示时，Q和S0一般是随机变量X的函数。矩阵JS的第j列可由下式给出：,(7-29),验算点展开随机有限元法,35,并且有：,(7-30),式中 和 是由Q和K的元素对Xj的偏导数构成的矩阵， 是由F的元素对Xj的偏导数构成的向量。与有限单元法中形成劲度矩阵、结点荷载向量的方法类似，矩阵 和 也可由单元的偏导数劲度矩阵 和单元的偏导数荷载向量 集合而成。,返回目录,验算点展开随机有限元法,36,7.5 蒙特卡罗随机有限元法,将蒙特卡罗模拟技术与有限元法相结合计算结构可靠度的方法称为蒙特卡罗随机有限元法。,37,通常将蒙特卡罗随机有限元法得到的结果作为可靠度计算的相对精确解，用以检验其它近似解法的计算精度。,蒙特卡罗随机有限元法,38,蒙特卡罗随机有限元法的计算结果 要达到较高的计算精度，需要足够大的 样本数。由于蒙特卡罗随机有限元法的 计算工作量相当浩大，使这一方法的应 用受到一定的限制。,蒙特卡罗随机有限元法,39,返回首页,
