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1、一、概念的引入,解,受力分析,第六节 高阶线性微分方程,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,第七节二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,特点,未知函数与其各阶导数的线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜想,有特解, 有两个不相等的实根,特征根为,两个线性无关的特解,得齐次方
2、程的通解为, 有两个相等的实根,特征根为,一特解为,得齐次方程的通解为, 有一对共轭复根,特征根为,重新组合,得齐次方程的通解为,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,方法步骤,写出特征方程,求出特征根,按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解,例1,求通解,解,特征方程为,特征根为,齐通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例4,设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量,解,设浮筒的质量为 m,平衡时,圆柱浸入水中深度为 l,浮力,重力,设 t
3、 时刻浮筒上升了 x 米,此时,浮力,重力,由Newton第二定律,记,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数.,实重根,复单根,复重根,实单根,几种情况,每个根对应通解中的一项,其写法与二阶方程的情形完全类似,具体分为,例5,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例6,解,特征方程为,特征根为,故所求通解为,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨
4、论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,例3,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,（取虚部）,原方程通解为,这种方法称为复数法,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,所求非齐方程特解为,（取实部）,原方程通解为,注意,例6,求通解,解,相应齐方程,特征方程,齐通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程的特解,所求通解为,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间,下段重为,解,设时刻 t 链条下落了 x 米,另设链条单位长重为,则上段重为,由Newton第二定律,例8,特征方程,特征根,齐通解,特解,故,代入初始条件,解得,
