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1、1,2018/10/16,6.2 用留数定理计算实积分,2,2018/10/16,目的与要求: 掌握用留数求周线积分的方法，会用 留数求一些实积分 .,3,2018/10/16,第二节 用留数定理计算实积分,1. 计算 型积分 2. 计算 型积分 3. 计算 型积分,知 识 点,4,2018/10/16,2018/10/16,4,1. 计算 型积分. 2. 计算 型积分 3. 计算 型积分,某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。,5,2018/10/16,5,2018/10/16,表示 , 的有理函数,1. 计
2、算 型积分,并且在,上连续.,当z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周，有,这里,令,6,2018/10/16,6,2018/10/16,典型例题,例2 计算积分,例1 计算积分,例3 证明,思考题 计算积分,7,2018/10/16,7,2018/10/16,2. 计算 型积分,引理6.1 设f(z)沿圆弧,上连续，且,于SR上一致成立(即与,为互质多项式,且满足条件: (1) n-m2;,定理6.7 设,为有理分式,其中,0,x,a2,ak,a1,y,z,a3,a4,中的 无关),则,（大圆弧引理）,8,2018/10/16,8,2018/10/16,例1 设a0，计算积分,例2 设ab0，计
3、算积分,例3 计算积分,例4 计算积分,思考题 计算积分,9,2018/10/16,9,2018/10/16,3. 计算,引理6.2(约当Jordan引理) 设：,上连续,在 上一致成立.则,型积分,R,(2),(1)g(z)沿半圆周,10,2018/10/16,10,2018/10/16,特别说来,将(*)分开实虚部,就可以得到形如:,则,(2) Q(x)0,xR,; (3)m0.,(*),定理6.8 设 ，其中P(z)及Q(z)是互质多 项式且满足条件(1) Q(z) 的次数比P(z)的次数高；,定理的证明类似于定理6.7.,例1 设a0,p0,计算积分,例2 计算积分,11,2018/1
4、0/16,11,2018/10/16,4. 计算,上连续,且,型积分,Sr,引理6.3 设f(z)在圆弧,于Sr上一致成立,则有,证 因 ,于是有,分析类似于引理6.1.,（小圆弧引理）,12,2018/10/16,12,2018/10/16,例1 计算积分,CR,-R,R,5. 多值函数的积分,其中s为实数,Q(x)为单值函数.取被积函数为,辅助路径 上的积分用,大圆弧引理， 上的积分,当然需要满足如下条件： 在中，有,CR,R,围道如图所示.,用小圆弧引理，,13,2018/10/16,13,2018/10/16,思考题2 用复变函数法证明弗莱聂尔(Frensnel)积分公式,计算反常积分有时要用种种不同的方式来选择积分路径。,例1 计算积分,思考题1 用复变函数法证明欧拉-泊松积分,思考题3 用复变函数法证明泊松积分,思考题4 用复变函数法证明泊松积分,14,2018/10/16,作业：,P218-219 E4(1) (3) (5), 5(1) (3),
