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1、第三讲 解析函数的充要条件 初等函数,1. 解析函数的充要条件 2. 举例,2.2 解析函数的充要条件,如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。,本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题 如何判断函数的解析性呢？,一. 解析函数的充要条件,记忆,定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy
2、 D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。,函数 w =f (z)点 z可导，即,则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2
3、故（1）式可写为,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.,（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些
4、函数是不可导的.,使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.,iii) 求导数：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,二. 举例,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则,解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny,仅在点z = 0处满足C-R条件，故,解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0
5、则,例2 求证函数,证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件：,故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为,例3,证明,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、C2 是常数.,那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族
6、曲线互相正交.,ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=， k2=0（由C-R方程）,即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交。,练习:,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。,内 容 简 介,一. 指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的。,例1,例2,例3,二. 三角函数和双
7、曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三. 对数函数,(1) 对数的定义,故,特别,(2) 对数函数的性质,见1-6例4,例4,四. 乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义, 多值, 一般为多值,q支,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。,(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。,解,例5,幂函数zb,当b = n (正整数),w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，多值函数， 当b为无理数或复数时，无穷多值。,作 业,P67 2, 8, 15, 18,
