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1、1,2,第二节 解析函数的充要条件,用函数解析的定义判断函数的解析性 往往比较困难；要判别一个函数在某 个区域内是否解析，关键在于判别函 数在此区域内是否可导。但是，要判 别一个函数可不可导，并且求出导数， 只根据导数的定义，这往往是很困难 的.因此，需要寻找一个简单的方法.,3,函数可导的充要条件,定理 设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内有定 义，则f(z)在D内一点z = x + iy可导的充 要条件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微， 且满足柯西黎曼方程(CR方程).,4,证明,必要性 设 f(z)在D内一点z=x+iy可导，则,其中
2、(z)0 (z0).变形得,5,6,7,8,由二元函数可微的定义知, u(x,y)与v(x,y) 在点(x,y)可微，且满足方程,即满足柯西黎曼方程.,充分性 由于u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,9,其中1,2,3,4当x0, y0时趋于零.,10,将CR方程代入上式,上式两边同除 z 得,11,由于z0时，上式的最后两项趋于零.,推论 若u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)的偏导 数连续且满足CR方程，则f(z)可导.,12,函数解析的充要条件,定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y)
3、 在 D内可微，且满足CR方程,根据函数在区域内解析的定义和函数可 导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.,13,若 f(z) 在区域D内不满足CR方程，则 f(z)在区域 D内不解析； 若 f(z) 在区域D内满足CR方程，并且 u与v具有一阶连续偏导数(因而u与v在区 域D内可微)，则f(z)在区域D内解析.,例题,例 判别下列函数的解析性 .,14,虽然它们均为连续函数, 但不满足CR 方程，所以 在复平面内处处不可 导，处处不解析.,解 (1) , 则u(x,y) = x, v(x,y) =y,15,由于上面的四个偏导数都是连续的，但仅 当x = y = 0时满足CR方
4、程，所以函数仅 在z = 0 处可导，在复平面处处不解析.,16,由于上面的四个偏导数连续，所以在复平 面内处处可导，处处解析，其导数:,17,例,求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.,解 由于,18,例,19,小结 f(z) = u+iv 在区域 D内解析的判定 求出u与v的一阶偏导数, 判别它们在D 内是否连续且满足CR方程; 若是, 则 f(z)在D内是解析函数. 若f(z) 除变量外, 形式上与实函数相同 (不含复数的专用记号), 可以直接求导. 若在D内导数处处存在，则在D内解析.,20,第三节 初等函数,本节将把实变函数中的一些常用的初等 函数推广到复变量的初等
5、函数，研究这 些初等函数的性质和它们的解析性 .,指数函数,设复数 z = x + iy，则定义指数函数为,21,指数函数有下列性质：,w = ez在整个复平面上解析, 且(ez) = ez.,模与辐角,乘法,w = ez 是以2k i为周期的函数.,22,对数函数,对数函数是指数函数的反函数. 若 ew = z (z0) 则称复数w为复数 z 的对数函数, 记为 w = Ln z,对数函数的主值与分支 设w = u + iv, 把它代入 ew = z = rei 有,23,因为 u = ln|z| ，v = i Arg z 所以 w = Ln z = ln|z|+ i Arg z = ln|
6、z| + i arg z + 2k i,结论 对数函数w =Ln z是一个多值函数， 并且每两个值之间相差2 i 的整数倍.,若记 ln z = ln|z|+ i arg z 则有 Ln z = ln z + 2k i (k为任意整数) 称 ln z为Ln z 的主值. 对于每一个k，上 式为一单值函数，称为Ln z 的一个分支. 当z = x 0时，Ln z 的主值 ln z = lnx .,24,例 求Ln 2，Ln(1)的值及其主值. 解 Ln2 = ln2 + 2k i (k为整数) 主值为ln2. Ln(1) = ln|1| + i Arg(1) = i + 2k i (k为整数)
7、主值为 ln(1) = i.,在实变函数中，负数没有对数，而在复 数范围内，负数有对数，并且正实数的 对数也是无穷多值.,25,对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变 数对数函数的基本性质.,运算性质,上面两个等式应理解为两端可能取的函 数值的全体是相同的，也就是说，对于 一端的任一值，另端必有一值和它相等.,26,对数函数的解析性,对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.,对于arg z，设 z = x + iy, 则当x0时，有,因此，arg z在原点与负实轴上都不连续， 于是lnz 在除去原点与负实轴的复平面
8、上 连续.,27,因为z = ew在区域 arg z 内的反函 数w = ln z 是单值的, 由反函数的求导法 则可知,所以ln z 在除去原点与负实轴的复平面上 解析. 因此Ln z 的各个分支在除原点与负 实轴的复平面上解析, 并且有相同的导数.,28,幂函数,对于实数 a 和 x 0 ，有 xa = ealnx. 推广到复数的情形，对于复数 ,当z0 时，定义 w = z = e Lnz 为复数 z 的幂函数. 由于Ln z 是多值函数，所以w = z一般 来说也是多值函数.,29,当 = n（n是正整数）时，w = zn为复 平面内单值解析函数，它就是 z 的n次 乘方,幂函数的几种
9、常见形式,当 = n（n是正整数）时，w = zn为复 平面内除原点外的单值解析函数.,30,当 = 0时，w = z0 = e0 Lnz = 1.,当 （n是正整数）时 ， 在k = 0,1,2,n-1时取n个不同值，它就 是 z 的n次根.,当为有理数 （p与q为互质的整数， q0）时, 有q个互异的值.,当为无理数或复数时，z是无穷多值.,31,一般幂函数函数的解析性,由定义w = z = eLnz (z 0, 不是整数) 在除去原点及负实轴的复平面上是解析的，并且其导数为,32,例 求 和 i i 的值. 解,其中k为整数.,33,三角函数,当y为实数时，由欧拉公式有,定义复变数 z
10、的正弦函数与余弦函数为,34,正弦函数与余弦函数的性质,函数sin z, cos z在整个复平面上解析， 并且,sinz, cosz 都是以2为周期的周期函数.,sinz是奇函数，cosz是偶函数.,实变数的各种三角函数公式仍然成立.,对任意复数z, 公式eiz = cosz + isinz成立.,35,sinz, cosz在复数域内是无界函数.,例如，取 z = iy ( y 0)，则有,随着y， | cos iy | 也无限增大.,其他复变数三角函数定义如下,36,反三角函数（略）,双曲函数,37,双曲函数是单值的且以虚数2i为周期的周期函数.shz为奇函数,chz为偶函数，而且均在复平面内解析，且,反双曲函数（略）,38,
