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1、数系的扩充与复数的引入,青州实验中学,实数系的结构图,自然数 N分数,大约在四千年前，在公平分配物质的时候，人们发现自然数不够用。如，三人平分一个西瓜时，把西瓜切成相同的三份，每人得到其中一份，怎样用数去表示这一份？诸如此类的问题很多。 于是，引入了分数,问题：两个自然数(或分数)相减得到的数，仍是自然数(或分数)吗？, 5-1=？5-2=？ 1-5=？2-5=？ 5-1=4，5-2=3 1-5= -4，2-5= -3 显然，第二组得到的不是自然数。而是负数 负数在实际中的应用如：收入与支出，上升与下降、入库与出库、温度的零上（ 3）与零下（-3）等等。,数系由自然数扩充到了有理数,有理数Q,
2、整数Z,分数,自然数N,负整数,有理数满足前面的加法、减法和乘法运算及运算律同时满足除法,有理数 Q 实数 R,已知正方形的边长是 1，一正方形的面积是已知正方形的 2 倍，求其边长。x2=2 x =2不是有理数上一章已证过。,1,1,于是，有理数扩充得到了实数,有理数满足前面的加法、减法和乘法运算及运算律同时满足除法,扩充过程,实数R,有理数Q,自然数N,加法 乘法,加法 乘法 减法 乘法,加法 乘法 减法 乘法,实数 R 复数 C,在实数范围内方程ax2+bx+c=0的根 当=b2-4ac0时，当=b2-4ac0时，无根,请看以下实例,方程x2+1=0的根是什么呢？,方程x2+x+1=0的
3、根是什么呢？,引入虚数单位 i,i2 = -1 于是，方程 x 2 + 1 = 0 的根是 x = i 对方程 x 2 + x + 1 = 0 的判别式 = b2 4 a c = 12 4 1 1 = - 3 0方程的根是,练习：求下列方程的根,x2+2x+2=0 x2-x+1=0 x2+2x+2=0,复数的概念,形如a +bi (a，b R)的数称为复数。 复数的表示：一般用 z (小写) 表示 z = a +bi (a，b R) 当b = 0时， a +bi=a 是实数 当b0时， a +bi 是虚数 当a=0且b0时， a+bi=bi 是纯虚数,z = a + bi (a，bR),实 部
4、,虚 部,练习：指出下列复数的实部与虚部,1+2i，1-2i，-1+3i，i，-i，0，1，,1,2,2,- 2,- 1,3,0,0,- 1,0,0,0,1,1,例1 实数取何值时，复数z = ( x - 2)+( x + 3 ) i是 （1）实数（2）虚数（3）纯虚数,解：（1）当 x + 3 = 0即x = -3时，复数 z 是实数； （2）当 x + 3 0即x -3时，复数 z 是虚数； （3）当x - 2 = 0 且x + 3 0 即x = 2时，复数 z 是纯虚数,练习B：2,注意问题,z = a +bi (a，b R) 当b = 0时， a +bi=a 是实数 当b0时， a +
5、bi 是虚数 当a=0且b0时， a+bi=bi 是纯虚数,复数的相等,a + b i = c + d i ,(a , b ,c , d R) a + b i = 0 两复数相等即是它们的实部与虚部对应相等。 不全为实数的复数不能比较大小。,a = c，b = d,a = 0，b = 0,例2 求适合下列方程的 x 和 y （x、yR）的值 （1）( x + 2 y ) i = 6 x+( x y ) i （2）( x + y + 1 ) = ( x y + 2 ) i,解：（1）根据复数相等定义，得( x + 2 y ) = 6 x 且 1 = x y 解由组成的方程组，得x = 2/3 y
6、 = 5/3 （2）根据复数相等定义，得x + y + 1 = 0 且 x y + 2 ) = 0 解由组成的方程组，得x = -3/2 y = 1/2,练习A：3,注意问题,1.两复数相等即是它们的实部与虚部对应相等2.找准等号两端复数的实部与虚部,扩充后的数集之间的关系,复数C,虚数,各数集的关系图,复数C,实数R,有理数Q,自然数 N,回顾小结,数系的扩充过程,复数的相关概念,复数相等,扩充过程,实数R,有理数Q,整数Z,自然数N,增添减法,增添除法,加法 乘法,加法 乘法 减法,加法 乘法 减法 乘法,加法 乘法 减法 乘法,数系的扩充过程,复数的相关概念,复数相等,复数的概念,形如a
7、 +bi (a，b R)的数称为复数。 复数的表示：一般用 z (小写) 表示 z = a +bi (a，b R) 当b = 0时， a +bi=a 是实数 当b0时， a +bi 是虚数 当a=0且b0时， a+bi=bi 是纯虚数,z = a + bi (a，bR),实 部,虚 部,数系的扩充过程,复数的相关概念,复数相等,复数的相等,a + b i = c + d i ,(a , b ,c , d R) a + b i = 0 两复数相等即是它们的实部与虚部对应相等。 不全为实数的复数不能比较大小。,a = c，b = d,a = 0，b = 0,数系的扩充过程,复数的相关概念,复数相等,自我练习,ExA1、2 ExB 1、2、3 习题3-1A 1、2、3,谢谢！,
