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1、微分方程习题课(1-2),1,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,微分方程习题课(1-2),2,例1. 求下列方程的通解,解答：,故为分离变量方程:,通解,微分方程习题课(1-2),3,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,微分方程习题课(1-2),4,调换自变量与因变量的地位，,化为,这是一阶线性方程
2、,通解：,化简为,微分方程习题课(1-2),5,方法 1 这是一个齐次方程 .,微分方程习题课(1-2),6,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,微分方程习题课(1-2),7,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,微分方程习题课(1-2),8,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,微分方程习题课(1-2),9,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,微分方程习题课(1-2),10,例3.,设F(x)f (x) g(x),
3、 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,微分方程习题课(1-2),11,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,微分方程习题课(1-2),12,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P326 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P327 题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,P326 题1，2，3(1), (2),
4、 (3), (4), (5), (9), (10),微分方程习题课(1-2),13,提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,提示: 为贝努里方程 , 令,提示: 为全微分方程 , 通解,提示: 可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,微分方程习题课(1-2),14,微分方程习题课(1-2),15,二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,微分方程习题课(1-2),16,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,微分方程习题课(1-2
5、),17,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,微分方程习题课(1-2),18,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,微分方程习题课(1-2),19,P327 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,微分方程习题课(1-2),20,例.,且满足
6、方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,微分方程习题课(1-2),21,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,微分方程习题课(1-2),22,例,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,微分方程习题课(1-2),23,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,微分方程习题课(1-2),24,2.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),微分方程习题课(1-2),25,所以,(2) 由(1)的结果可知所
7、给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,微分方程习题课(1-2),26,代入初始条件可得,故所求级数的和,微分方程习题课(1-2),27,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),微分方程习题课(1-2),28,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,微分方程习题课(1-2),29,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,
