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1、1988 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 16 日上午 800930) 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( )Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( )A|k|1 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交于一点 则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要
2、条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通 过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么 表达式 MNP=I； N M P 中，正确的表达式的个数是A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分)：1设 xy，且两数列 x，a1，a2，a3，y 和 b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= b4b3a2a1 2(+2)2n+1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 x3在ABC 中，已知A=，CD
3、、BE 分别是 AB、AC 上的高，则= DEBC4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被 淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过 程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分)长为，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体2积 四(15 分) 复平面上动点 Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点 Z 满足 Z1Z=1， 求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五(15 分)已知 a、b 为正实数，且 + =
4、1，试证：对每一个 nN*，1a1b(a+b)nanbn22n2n+11988 年全国高中数学联赛二试题 一已知数列an，其中 a1=1，a2=2，an+2=5an + 13an(anan + 1为偶数)， an + 1an(anan + 1为奇数)试证：对一切 nN*，an0二如图，在ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证： SPQRSABC2 9三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x
5、轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论NACBPQRH1988 年全国高中数学联赛解答一试题 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( )Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是 y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即 y=(x)选 B 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=
6、0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( )A|k|1 B|k|1 C1 ；3命题乙：a、b、c 相交于一点 则A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 解：a，b，c 或平行，或交于一点但当 abc 时，= 当它们交于一点时， SPQRSABC2 9证明：作ABC 及PQR 的高 CN、RH设ABC 的周长为 1则 PQ= 1 3则=，但 AB ，SPQRSABCPQRHABCNPQABARAC1 2PQAB23APABPQ ，AC ，从而 1 21 31 613161 2ARAC1 3SPQRSABC2 9三在坐标平面上，是否存在一
7、个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 证明：设 an=bn0，即 kn1=1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1不存在，故kn1现设 kn0，1，则 y=kn(x1)+1，得 bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时 knkn+1=kn211kn1kn kn1 或 kn1 或 k11 时，由于 0k2=k10
8、，若 k21，则又有 k1k2k30，依此类推，知当 km11k11k1时，有 k1k2k3kmkm+10，且 0k=k0，此时 kk1，1k11k21kmkm+1=kmkm=km1km1k11km1k11km11k12k1mk1由于 k1随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m0，使 k11，从而必存在一个mkmm0k1m 值，m=m1(m1m0)，使 k1，而11)2.用数学归纳法证明：fn(x)= ),21, 2 , 1( ,) 1() 1(),2, 2 , 1( ,) 1() 1(212121221 12221 1为奇数为偶数nniCyCyCynniyCyCynnnini
9、 inin nnnini inin nn19931993 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷第 一 试一选择题(每小题 5 分，共 30 分)1 若M(x，y)| |tgy|+sin2x0，N(x，y)| x2+y22，则MN的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92 已知f (x)asinx+b+4(a，b为实数)，且 f (lglog310)5，则f(lglg3)的值是（ ）(A)5 (B)3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值3 集合A，B的并集ABa1，a2，a3，当AB时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）
10、（A）8 （B）9 （C）26 （D）274 若直线x4被曲线C：(xarcsina)(xarccosa)(yarcsina)(yarccosa)0 所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )(A) 4(B) 3(C)2(D)5 在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ca等于AC边上的高h，则2cos2sinACAC的值是( )(A)1 (B)21(C)31(D)1- 12 -6 设m，n为非零复数，i为虚数单位，zC，则方程| zni| zmi|n与| zni|zmi|m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )二填空题（每小题 5 分，共 30 分）1 二次方程(1i
11、)x2(i)x(1i)0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为_2 实数x，y满足 4x25xy4y25，设 Sx2y2，则minmax11 SS_ _3 若zC，arg(z24)65，arg(z2+4)3，则z的值是_ _4 整数 31010 3193的末两位数是_5 设任意实数x0x1x2x30，要使1993log1993log1993log322110 xx xx xx1993log30 xxk 恒成立，则k 的最大值是_ _6 三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 1
12、98 倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片三 （本题满分 20 分）三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥SABC的外接球球心四 （本题满分 20 分）设 0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹五 （本题满分 20 分）设正数列a0，a1，a2，an， 满足12122
13、nnnnnaaaaa(n2)且a0a11求an的通项公式xyF1F2xyF1F2OoF1F2F1F2 xxyooy(A)(B)(C)(D)- 13 -19941994 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题第 一 试一选择题(每小题 6 分，共 36 分)1设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式0cossincxbxa都成立的充要条件是(A)a，b同时为 0，且c0 (B)abc22(C)abc22(D)abc222给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果abc222，则abc2220；(2)设a，b，c都是复数，如果abc2220，则abc222那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确3已知数列an满足3411aannn()，且a19，其前 n 项之和为Sn，则满足不等式|Snn61 125的最小整数n是(A)5 (B)6 (C)7
